高中数学：和圆有关的比例线段学案新人教A版选修4-1.doc

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1、高二数学选修4-1学案五和圆有关的比例线段班级姓名学号教学目标：1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．教学难点：　　定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系教学活动：一．复习导入：1．证明：已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．　　

2、求证：PA·PB＝PC·PD．　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．从一般到特殊，发现结论．　　对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直思考：（1）若AB是直径，并且AB⊥CD于P．根据相交弦定理，能得到什么结论?　推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．（2）　若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2＝PA·PB；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB二．范例讲解一例1：已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为1

3、2厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．　　根据题意列出方程并求出相应的解．8例2 ：已知：线段a，b．　求作：线段c，使c2＝ab．　　分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．作法：口述作法．三．课堂练习一　练习1：如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．（变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?）练习2：如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P

4、，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．　　练习3 ：如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C． 求证：PC2＝PA·PB 分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，想到延长CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根据条件OP⊥PC．易证得PC＝PD问题得证．8探究：1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？　2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时，猜想：由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点

5、的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？　3、用语言表达上述结论．切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）四．范例讲解二例1 ：已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求⊙O的半径．（分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．）例2：如

6、图7-90，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E．AB=12，AO=15，AD=8．求：两圆的半径．8五．课堂练习二1、P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B、C，且PB=BC．OA=7，PA=2，求PC的长．2、已知：如图7-92，⊙O和⊙O′都经过A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q、M，交AB的延长线于N．求证：PN2=NM·NQ．六．课堂反思：观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，NP是⊙O的切线，NMQ是⊙O′的割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线N

7、BA．具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件．例：如图7-93，四边形ABCD内接于⊙O，AB长7cm，CD=10cm，AD∶BC=1∶2，延长BA、CD相交于E，从E引圆的切线EF．求EF的长．分析：此题中EF是⊙O的切线，由切割线定理：EF2=ED·EC=EA·EB，故要求EF的长，须知ED或EA的长，而四边形ABCD内接于⊙O，可EB长为2x，应用割线定理，可求得x，于是EF可求．证明：四边形ABCD内接于⊙O△EAD∽△ECBEB=2xx(x+10)=(2x-7)·2xx=88EF2=8×(8+10)EF=12答：EF长为1

8、2cm．高二数学选修4-1学案六和圆有关的比例线段· 习题课班级姓名学号教学目标：1．理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；2．掌握切线长定理及构造相似三角形证明