谈谈函数解析式的常用求法

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1、2010年8月1日理科考试研究·数学版·9·一道题的多角度研究吕辉)与点Q(一1，1)连线的在复习备考中遇到一道题，求=}斜率．由图可见一1≤一Q的值域，此题比较容易求出结果．仔细再研究<1，即一1<≤1．DP此题你会发现这道题很有趣，它可以和高中数解法5令n=(1，一学的很多知识联系起来．下面给出几种解法供z)，b=(1，z)，读者参考欣赏和推广．令cos

2、，≠+志玎，七∈Z，解法2原式得(1+z2)：1～z2：》(+1)2：1一．由万能公式=}=cos20∈(一1，1]，得一1<≤I．显然≠～1，。=≥0一1<≤1．说明这道题的六种解法充分反映出数解法3(+1)x一1+=0．学知识之间是相连的，会让你眼前一亮．通过：~-方程有解／ly’此题可以让你的数学思维得到拓展也可加深△≥。对数学知识之间的理解．得一1<≤1．【作者单位：(442001)湖北省十堰市东风解一-．INCA尸(，高级中学】谈谈函数解析式的常用求法王新明函数是高中数学中的重要内容，也是高考系数法求其解析式．考查的重点．而解析法

3、是表示函数的最常用方例1已知一次函数厂()满足f[f(x)]法，可见求函数解析式是学好函数知识的关=4x一3，求f(x)的解析式．键．本文就四种类型谈谈函数解析式的求法．分析函数．厂(z)是一次函数，可设．厂(z)一、具体函数型=纰+b(a≠0)，利用待定系数法求出a，b．若题目中已经告诉我们函数是一次函数解设厂()：+b(n≠0)，或二次函数等具体的函数模型，则可利用待定贝4．厂(+b)=日(a3g+b)+b理科考试研究·数学版2010年8月1日=a．27+口6+b=4x一3．原函数化为所以a2=4,=十=，十6：一3、所以厂()：÷(z

4、一1)．{，l，或例5f(47+1)=z+2√z，求f(x)的所以f(x)=2x—l，解析式．或／()：一2+3．例2已知二次函数，()满足f(1+)解瓜√X+1：t(t≥1)，．则=(t一1)．+f(2+z)=2x+4x十3，求f(x)的解析式．原函数化为f(t)=(t一1)+2(t一1)分析因f(x)是二次函数，故可利用待定系数法求解．=t一1(t≥1)，。所以f(x)=z一l(x≥1)．解设f(x)=∞++c(a≠0)，注在利用换元法求函数解析式时，一定则口(1+z)+b(1+)+C+口(2+z)要注意”新元”的取值范围．+b(2+z

5、)+f=2x十4+3，三、函数方程型即2ax+(6口+26)z+(5口+36+2c)=1．“取反”消元法2z+4z+3．例6已知2f(x)一f(一)=2x2一1，f2口2，求f(x)的解析式．应有6a+2b=4，(5a+36+2c=3．分析要求．厂(z)的解析式，而题中出现了(一)，可考虑消去它．从中解得口=l，b：一1，c=．解以“一z”替换题中的“X”得2f(一z)一厂[一(一X)]=2(-z)一1，所以f(x)=一z+．即2厂(一z)一厂(z)=2x一1．(1)二、复合函数型又已知一f(一)+2f(x)：2x一1．1．直接变换法(配凑

6、法)(2)例3已知L厂(十1)=+2，求由(1)(2)消去“厂(一at")”，f(x)的解析式．得f(x)=2x一1．解因为+2~／‘=(√)2+2+12．“取倒”消元法—1=(√+1)。一1，例7设厂(z)是定义在(1，+o。)上的函所以，(·／+1)：(√+1)一l／．+l数，且，()=2)．一1，、(z)．≥1)，分析欲求f(x)，须消去已知条件中的即f(x)=z一l(x≥1)．厂()，可再找一个方程．由与的倒数关注此种方法也称配凑法，通过观察，分析将右端“z+2~／z”转化为接受对象‘‘√+1”系，用代换已知条件中的，便可得到要找的

7、的表达式．另外，f(x)的定义域应为，(~／十方程，然后联立便可获解．1)中的‘‘√z+1”的值域．1一一解在厂(z)=2f(-*-)·、／z一1(1)2．换元法一例4已知f(2x+1)=z+z，求，(z)1中用代换得一的解析式．解令2z十1：fz：．}，畦)=2f(_1．(2)2010年8月1日理科考试研究·数学版由(1)(2)得2．叠加法例9设函数f(x)的定义域为N，函数，()号十号，z∈(1，+。。)．厂()满足．注消元法适合题目中存在自变量的“倒f(x)+f(Y)=f(x+Y)一五y，数关系”或者“相反关系”的问题，属于特殊方且f

8、(1)=l，求f(x)的解析式．法，应熟练掌握．解显然1∈N，在f(x)+f(Y)=f(x四、抽象函数型+)一xy中，令Y=1，贝01．特殊值法f(x+1)=f(x)+f(1)+