矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用

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1、第26卷第1期大学数学Vo1．26，№．12O10年2月CoLLEGEMATHEMATICSFeb．2O10矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用杨忠鹏，林国钦。，陈梅香(1．莆田学院数学系，福建莆田351100；2．福州大学离散数学研究中心，福建福州350001)[摘要]证明了矩阵A的两个多项式秩的和等于它们最大公因式与最小公倍式秩的和，这个结果不仅可以概括近期文献的相关工作，而且可以对应用矩阵多项式求逆矩阵的方法作进一步的研究，同时也可使关于矩阵秩恒等式的最新讨论获得一种简单统一的处理方法．[关键词]矩阵多项式；矩阵的秩；最大公因式；最小公倍式[中图分类号

2、]O151．2[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2010)01—0149一o41引言设PEz]和P分别为数域P上z的一元多项式和×”阶矩阵的集合，rank(A)为矩阵A的秩，fA(z)和()分别为A∈P的特征多项式和最小多项式，总约定d(z)一(f(x)，g(32))和m(z)：[-厂(z)，g(z)]分别为-厂()，g(z)∈PI-x]的首项系数为1的最大公因式和最小公倍式，c为复数域，E为单位矩阵，为正整数集合．文献[1]提出的应用矩阵多项式来求逆矩阵的方法是很有意义的，其理论基础在于：命题E设f(z)为A∈”的特征多项式，g()∈C[

3、]，则g(A)可逆㈢(fA()，g(z))：1．近期的关于矩阵多项式秩的和的研究是引人注目的话题(E3—11]等)，本文首先证明矩阵A的两个多项式秩的和等于它们最大公因式与最小公倍式秩的和，这个结果不仅可以概括近期文献的相关工作，而且可对文献[1]的方法作进一步的研究，同时可使关于矩阵秩恒等式的最新讨论获得一种简单统一的处理方法．本文需要以下的预备知识．引理1C设A∈P，厂()，g(z)∈PEx]首项系数都为1，f(z)，f(z)，()∈P[]，则_厂()g()一(-z)(z)，(1)(厂(z)，h(z))一(厂2(z)，h())一1=》(厂(z)fz(

4、)，h())一1．(2)引理2四分块矩阵M=fij经过有限次分块矩阵的初等变换而得，则rank(M)—rank(丽)．引理3Ⅲ设fA(z)∈P[z]为A∈P”的特征多项式，则(A)一0．引理4u设A∈P，则．厂(A)一0㈢(z)j-厂()．引理5设_厂()，g()∈P[]，则_厂(z)与g(z)在P[]与c[]上的最大公因式是相同的．证当．厂(-z)，g(-tr)之一是零多项式时，结论是显然的．当厂(z)g(z)≠O时，由文献[12，P8]知，存在唯一的g(z)，r(z)∈PEx]满足(z)：g(z)q(z)+r(z)，[收稿日期]2007—08—30；

5、[修改日期]200711-15[基金项目]福建省自然科学基金项目(Z0511051)；2008年福建省高校服务海西建设重点项目(2008HX03)；福建省2006年本科精品课程——高等代数，莆田学院教学研究项目(JG2OO82O)150大学数学第26卷其中次数r(z)<次数g(z)或r(3c)：0．正如文献[12，P12]所指出的，不论把_厂(-z)，g(z)看成是P[]或c[]中的多项式，上面带余除法的商式口()和余式r()都是一样的．文献ElZ，P13，定理2]实质上给出了求厂()，g(z)的最大公因式一种方法：以带余除法为基本工具的辗转相除法，求-

6、厂(z)与g(z)的最大公因式．因此，不论是在P[]还是在c[z]中实施带余除法，涉及到的多项式都是相同的，故引理5成立．弓I理6设f()，f(z)，f(z)∈P[z]，贝0((_厂()，fz(z))，fs(z))：((厂-()，f。())，fz())．证由[12]的P17知，(()，f2(z)，f3())一((-厂1()，f2(z))，f3(z))，且(_厂()，f。(z)，fz())一((厂()，fs(z))，f2())．又(-厂。(z)，f(z)，f。())一(-厂()，fs()，fz(z))，故引理6成立．2主要结论及应用定理1设AEP””，()

7、，g(z)∈P[]，贝0rank(f(A))+rank(g(A))一rank(d(A))+rank(m(A))．(3)证如果厂()，g()之一为零多项式，(3)显然成立．不失一般性设厂(z)，g()都是非零的，因此可有_厂()一()f1(z)，g()一(z)gl(z)，fl()，gl(Lz)EP[z]，(4)d(sr)一“()_厂(z)+()g()，“()，(1z)EP[]，(5)(A)一_厂(A)“(A)+(A)g(A)．(6)由(4)，(5)和(6)，对矩阵(。厂(OA))做分块的初等变换(＼一gE(A，)。E)／(＼OEEA)／(＼‘OAg(OA)

8、)／(＼OE‘EA)／(＼一fE(A)。E)／(＼E。一OE)／一(一A)()(