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《浅谈矩阵的秩及其应用定稿》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、宝鸡文理学院本科学年论文论文题目：矩阵秩及其应用学生姓名：李前学生学号：201190014020专业名称：数学与应用数学指导老师：杨建宏数学系2013年11月28日目录【摘要】1【关键字】1一、矩阵的秩的有关概念1二、矩阵中的相关定理及命题2三、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较4四、矩阵运算中矩阵的秩的关系6五、矩阵秩的应用9【参考文献】14浅谈矩阵的秩及其应用李前（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013）【摘要】本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。【关键字】
2、矩阵秩；线性方程组；非零子式的最高级数；初等变换1、矩阵秩的相关概念，定理及命题为了介绍矩阵的秩，首先介绍级子式的概念定义[2]李尚志编著线性代数[M]北京：高等教育出版社，2006.5。[2]李尚志编著线性代数[M]北京：高等教育出版社，2006.5。[2]李尚志编著线性代数[M]北京：高等教育出版社，2006.1]在阶矩阵中任意选定矩阵的行和列,将位于这些所选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序组成的一个新的行列式,称为矩阵的的一个级子式。定义[2]李尚志编著线性代数[M]北京：高等教育出版社，2006.5。设所含的非
3、零子式的最高阶数为,则称为矩阵的秩,记为.当时,不含任何非零子式,定义矩阵的秩为0，记为.矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量,那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的,这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样,将每一列看成一个向量,那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。简单地说,矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。显然，阶矩阵的非零子式的最高阶数比中的任何一个都小，可记为.若,当时称为行
4、满秩,同样，若，当时称为列满秩；如果,并且当达到最大值时，称为满秩方阵。例对于矩阵矩阵的行向量为,计算可得，向量组1515的秩为3,那么可知，矩阵的行秩为3.矩阵的列向量为,计算可得，向量组的秩为3,那么可知，矩阵的列秩为3.矩阵的行向量,,则矩阵矩阵列向量为,经计算向量组,的秩为3,则矩阵的列秩为3.2、矩阵中的相关定理及命题命题Error!Bookmarknotdefined.一个矩阵的秩为级子式,而所有的级子式(若矩阵存在级子式)全都为0.命题[2]李尚志编著线性代数[M]北京：高等教育出版社，2006.5。矩阵经初等
5、变换后，矩阵的秩不发生改变.定理Error!Bookmarknotdefined.矩阵的行秩和列秩是相等的.证明Error!Bookmarknotdefined.设所讨论的矩阵为而A的行秩为,列秩为.要证,先证.1515以代表矩阵的行向量组,不妨设是它的一个极大线形无关组。因为是线性无关的,所以只有零解,这也就是说,齐次线形方程组只有零解.则方程组的系数矩阵的行秩因此在它的行向量中可以找到个是线性无关的,比如向量组线性无关，在这些向量上再添加若干个分量后所得的新的向量组依然是线性无关的。并且它们正好是矩阵的个列向量,由于它们
6、的线性无关性，由此可知矩阵的列秩至少是,也就是说.同理可得.这样就证明了,进而说明矩阵行秩与列秩相等。由此可以看出上例中的行秩和列秩相等绝非偶然情况，而是对任意的矩阵都有行秩等于列秩。因此，我们将矩阵的行秩和列秩通称为矩阵的秩,且三者相等。定理2Error!Bookmarknotdefined.阶矩阵的行列式为零的充要条件为.证明Error!Bookmarknotdefined.充分性因为矩阵的秩等于矩阵的行秩,且,所以矩阵的行秩小于,因此可知矩阵的行向量组是线形相关的,由行列式的性质可得,矩阵的行列式为零。必要性1515当
7、时,矩阵为零,结论显然成立。假设结论对成立。讨论的情形,若第一列元素均为零,则.若存在不为零的元素,不妨设利用初等变换将其余各行的第一列元素消成零,则其中,且为矩阵的行向量。因为矩阵的行列式为零,所以由归纳假设的行向量线性相关。因此，向量组线性相关，进而可得出也是线性相关的，即.由归纳假设可得结论对任意得都成立。由定理2可得出推论,的充要条件是3、矩阵秩的两种计算方法及其优劣比较3.1矩阵的秩的两种计算方法方法一求矩阵的非零子式的最高级数由定义知，矩阵的秩为矩阵中存在的非零子式的最高级数。又根据命题1可知若一个矩阵的秩为等价
8、于矩阵中有一个级子式不为,同时所有的级子式全都为0.因此,我们可以得到计算矩阵的秩的一种方法，若存在级子式不为0,而所有的级子式(如果有的话)全部为0,那么矩阵的秩即为.方法二进行初等变换1515由上述定理可知，矩阵的秩等于矩阵行秩或列秩,且由命题2可知矩阵经初等变换后矩阵的秩不发生改变,
