矩阵的秩及其应用.doc

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1、矩阵的秩的及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，在多项式中的应用；其次是在二次型中的应用，最后是关于矩阵的秩在几何中的应用。关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式；二次型一：引言矩阵的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质，它将矩阵的本质展现出来。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。二：矩阵的秩的定义及其性质(1)定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。定义2所谓矩阵的行

2、秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩.另外,在我们的课本上矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数,这其实是矩阵的秩的行列式定义。(2)性质及变化规律(1)转置后秩不变(2)初等变换不改变矩阵的秩;(3)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵(4)r(kA)=r(A),k不等于0(5)r(A)=0<=>A=0(6)r(A+B)<=r(A)+r(B)(7)r(AB)<=min(r(A),r(B))(8)r(A)+r(B)-n<=r(AB)注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n阶矩阵。

3、特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0->r(A)+r(B)<=n(8)P,Q为可逆矩阵,则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)三：矩阵的秩的应用(1)解线性方程组(线性方程组可解的判定方法)对一个线性方程组来说，其可以表示成AX=B的形式，A为线性方程组的系数矩阵，设其增广矩阵为则有方程组AX=B无解当且仅当R(A)

4、非零解.此时，方程组中四个方程都是有效方方程(2)讨论向量组的相关性向量组的秩既该向量组极大无关组所含向量的个数，而向量组本身所含的向量的个数与秩相等，则该向量组线性无关，所含向量个数大于秩，则该向量组线性相关，这个性质常常用来判断向量组是否线性相关。(3)矩阵的秩在讨论方阵问题中的作用对于一个方阵A,如何判断它是否可逆，除了根据它的行列式是否为零，还可以根据方阵的秩的大小来判断。若方阵A可逆则其为满秩矩阵即R(A)=n，同时我们还知道这等价于n阶子式不为零，即≠0，这是方阵可逆的充要条件。(4)判断二次型的正定设二次型f(x1,x2,...,xn)=XTAX

5、 (AT=A)那么有以下的结论： A正定<=>f的正惯性指数与秩都等于n, A负定<=>f的负惯性指数与秩都等于n, A半正定<=>f的正惯性指数与秩相等.(5)矩阵的秩在求特征值中的应用假设有P-1AP=Ʌ=diag(a1,a2...,an)成立,因为P可逆，所以P=E1E2...EnI，又因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，则有R(A)=R(B)所以对于可相似对角化矩阵，秩的值就是它非零特征值的个数即有一下两条推论1.方阵A不满秩等价于A有零特征值.2.A的秩不小于A的非零特征值的个数.通过以上性质，我们能很方便的计算出方阵的非零特征值个数或判断特征值是否有

6、0及其的重数在课本上我们只知道λ1λ2∙∙∙λn=detA只能判断出是否有零特征值，因此这条性质可以看出该性质的拓展。(6)矩阵的秩在几何中的应用已知平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0与平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0.设线性方程的系数矩阵为A增广矩阵为，则若R(A)=R()=2<3，则方程组有一个基础解系既解在一条直线上，即两平面相交于一条直线若R(A)=R()=1<3，则方程组有两个基础解系既解在一个平面上，即两平面重合若R(A)

7、用秩来解决。同理对于空间直线与平面的关系，空间直线与空间直线的关系亦可以用类似的方法进行求解。在这条应用里我们将几何问题代数化方便了计算。四：小结矩阵的秩将线性代数中许多重要的概念联系起来，尽管它看起来有些抽象，但作为代数的重要部分，它的引入为解决某些数学问题提供了新的探索途径和方法。在一些实际的运算中大大地简便了运算过程和步骤，为我们的学习和应用带来了极大的便利。