矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用

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1、第8.卷第4期北华大学学报(自然科学版)丫bl.8恃〕.42007年8月AL0FBEIHUALJ’NIV卫RSll，Y(Natu间段ience)Au仑.2007文章编号:10094822(2(X)7)04一0294一05矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用杨忠鹏，林志兴(莆田学院数学系，福建莆田351100)摘要:应用分块矩阵的初等变换的方法，得到矩阵方不的秋的一个恒等式，由此给出了拒阵为m不等拒阵与m.对合拒阵的充分必要条件，推广改进了已有的相关结论.关健词:分块矩阵;初等变换;拒阵秩;m不等拒阵;m对合拒阵中图分类

2、号:0151.21文献标识码:A1引理设尸x”为数域F上所有nxn阶矩阵的集合，rankA为A任尸义”的秩，E为单位矩阵.用diag(A，B)表示四分块的对角矩阵.矩阵秩的恒等式rankA+rank(A一E)=n，当AZ==A任尸肠时;(1.1)rank(A一E)+rank(A+E)=n，当AZ二Ee尸“时，(1.2)不仅是数学专业的高等代数课程的基本习题仁‘一2」，而且也成为非数学专业线性代数课程教学的内容〔3川.将矩阵秩的恒等式(1.1)或(1.2)作为判定幂等矩阵(或对合矩阵)的充要条件也是众多辅助书籍的共

3、同选择[5一8].当A任尸“”，正整数m》2时，如果·A“二A，且A乏护A住=2，3，⋯，m一1)，称A为m幂等矩阵;如果A‘=E，且A花举E(k=1，2，⋯，m一1)，称A为m对合矩阵.厦门大学2006年招收攻读数学各专业硕士学位研究生综合基础11(A卷)中的第三题:命题1.1设A任尸“，满足A3二双，试证mnk(A一E)+rank(人2+A+E)=。.(1.3)文【9一11]给出了三幂等矩阵秩的不同形式的等式:命题1.2[9]设Ae尸“，且A3二A，则~kArank(E一AZ)=，(1.4)命题1.31101

4、设A任尸x”，且A3二A则rank(E一A)(E+A)+rank(E+A)A+rar永(E一A)A=n，(1.5)rankA+rank(E+A)A二rar永(E十A)+rank(E一A)A=花油(.E一A)+rank(E+A)A=n，(1.6)rankA+rank(E一A)+rank(E+A)=Zn.(1:7)命题1.4[ll]设A任尸”，则收稿日期:2007一03一22基金项目:福建省自然科学基金资助项目(功511051);福建省精品课程(2006)—高等代数;莆田学院教学研究项目(JG200521)作者简介:

5、杨忠鹏(1947一)，男，教授，主要从事矩阵代数研究.万方数据第4期杨忠鹏，等:矩阵方幕的秩的一个恒等式及应用295rankA+rank(A一A3)=rar击(A一AZ)十rank(A+AZ).(1.8)引理1.1设Ae尸x”为m幂等矩阵，则A为m一1对合矩阵当且仅当rankA二n.证明当A“一1=E时，显然rankA=n.当A“=A，A掩护A(k=2，3，⋯，，一1)，且rar永A=，，必有A”一1二E;如果有壳。(1《乏。成，‘一2)使A惫。=E，那么A是。+，=A，且2(乏。+1簇m一1，矛盾.于A为、幂等

6、矩阵，这说明A为m一1对合矩阵.‘对四分块的初等矩阵〔’〕，记【言公卜.p(‘(二))，【:昙}一，(.z(、))，·(1.9){言落卜‘(1，2(c))，{尝盆1一，(2，1(C)):由文献【1，12〕有如下结果.「Ml从1__，_一，_‘.__‘，.。二，__，，、___._.__，_、__引理1.2分块矩阵M二!___一}行户、朴‘抓绘过有限仄分决龙阵的初等父殃吸左采或石来初等LM3M4)分块阵)而得后，则rallk材=rar永M.本文主要结果是给出与矩阵方幂有关的秩的一个恒等式，作为应用不仅可概括文献【1

7、一12]的相应结果和命题1.1，而且可得到判定m’幂等矩阵、m对合矩阵的充要条件.2矩阵方幂的秩的恒等式定理2.1设A份尸义”，m为正整数，则诩kA+rank(A，一刃)=r面k(注一A性+1)+n，(2.1)娜k(A一E)+rank(Am一1+A“一2+·+A+E)=rank(A‘一E)+n，·(2.2)rankA+rar永(A一E)+rank(A“一1+A‘一2+⋯+A+E)=r肚永(A一A叮+1)+Zn.(2.3)证明由式(1.9)有‘尸(1，2(一A“))尸(2，1(E))di昭(A，A‘一E)尸(1，2

8、(一A“一1))P(2，1(A))P(2(一E))=门lEO，.AE，.尸.Eo’一A拼‘O一A优一1..we..己...EE吸O0毛..AEEl目A邢一EE目﹄」[言几]一“、‘A一A““，‘’，这样由引理1.2可得到式(2.1).由式(1.9)又有.p(2，1(E))di昭(A一E，A“一，+注“一2+⋯+A+忍)p(1，2(一A”一2))=EOE，一A份一2.A一E