矩阵的秩及应用

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1、教学单位一数学系学生学号20109001S055编号SX2012SXS055宝鵡$驱学阮本科毕业论文论文题目矩阵的秩及应用学生姓名专业班级2010级专升本2班指导教师2012年5月20日1・矩阵的秩及相关理论错误！未定义书签。1.1矩阵秩的相关定义11・2矩阵秩的解法11・3矩阵秩的和关性质21・4矩阵的秩与行列式31.4.1刃xn矩阵的情形31.4.2一般矩阵的情形32•矩阵的秩的应用32.1矩阵的秩在解线性方程组中的应用32.2矩阵的秩在向量组的线性相关性问题中的应用52.3矩阵的秩在线性空间中的应用62.4矩阵的秩在判断两空间直线的位置关系中的应用73.结束语9

2、参考文献9二附录错误！未定义书签。开题报告错误！未定义书签。结题报告12答辩报告13矩阵的秩及应用屈敏贞（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013）摘要：文章利用矩阵的秩的相关泄理及重耍结论，阐述矩阵的秩在数学知识的学习中所起的作用，总结了矩阵秩的重要性质。将矩阵的秩的相关知识运用于解决具体的数学问题屮，为以后相关知识的学习奠定基础。关键字：矩阵的秩；增广矩阵；维数1・矩阵的秩及相关理论1・1矩阵秩的相关定义定义1:向量组的极人无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。定义2：矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，矩阵行向量组的秩称为矩阵的行秩。矩阵的秩的两个等价定义：1）炬

3、阵行秩等于炬阵列秩，统称为矩阵的秩。2）矩阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩。矩阵的秩记为秩（4）或厂（4）。1・2矩阵秩的解法利用初等变换来求炬阵人的秩步骤如下：用初等变换（行的初等变换，列的初等变换都可以）将A变成阶梯形的矩阵B,而B的非零行的个数就是A的秩。「111例1:求“]$匕2的秩。2314指导教师：王彪作者简介：屈敏贞（1987-）,女,陕西渭南人，数学与应川数学专业2010级（2）班解:_111-T_111-14厂2*(t)八〉0125厂3十厂2y01252心+(一1)八0-1-3-5儿+(T)厂200-10厂4+(-2)八01一1600-31_11

4、1-1"几+(・3)厂3、0125700-10_0001这个阶梯形矩阵有4个非零行，故r(A)=4o由于A的秩就是人的行向量组的秩，也就是A的列向量组的秩。因此，要求一个n维向量组｛少,也，…｝的秩，可以做一个｛少，冬，…还｝为列向量组的矩阵A(或以｛^，^，…住｝为行向量的矩阵3),然后用上述方法求出A(B)的秩，即就是｛a｝,a2,--as］的秩。1.3矩阵秩的相关性质1)HA)=OoA的元素全为零。2)设A是数域phnxm矩阵，B是数域phinxs矩阵，于是r(AB)

5、设A与3是mxn矩阵，则r(A±B)>r(A)-r(B).Q是nxn可逆矩阵，那么则r(7V)>r(A)+r(S).5)A是一个nxs矩阵，如果P是$X5■可逆矩阵,r(A)=r(AP)=r(QA),则r(M)=r(A)+r(B);7V=B07)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B).8)设4与B为几阶方阵,若AB=0,则r(A)+r(B)r(AB)+r(BC)-r(B)・1・4矩阵的秩与行列式1.4.1心斤矩阵的情形定理1:斤矩阵A的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于no通过定理1的

6、陈述可以得到否命题，即nx/i矩阵4的秩等于料的充分必要条件是A的行列式不为零。从而有以下一些等价条件：矩阵4的秩等于小2)A的行列式不为零。3)矩阵A是可逆矩阵。4)齐次线性方程组AX=0只有零解。5)矩阵A能表示成一些初等矩阵的乘积的形式，即A=Q{Q2^QijO6)矩阵A的所有特征值均不为零。有了这些等价条件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。1.4.2-般矩阵的情形定理2：矩阵A的秩是/•的充分必要条件是矩阵A中有一个r级子式不为零，同时所有的广+1级子式全为零。这个定理实际上包含两部分，一部分是，r(A)>r的充分必耍条件为4有一个厂级子式不为零；另一部

7、分是，r(A)+1级子式全为零。有时候，这两个结论可以分开來用。2.矩阵的秩的应用2.1矩阵的秩在解线性方程组中的应用定理3：设有线性方程组AX=B,(1)1)线性方程纽.(1)有解OHA)=NA/B),即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;2)3)线性方程组⑴有唯一解O厂⑺)=r(A/B)=n(n为未知数的个数)；线性方程组⑴有无穷多组解or(A)=r(A/B)