互素多项式在矩阵秩中的应用

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1、第!!卷第"期徐州师范大学学报!自然科学版"=(2’!!#.(’"!##$年%月&’()*+,-(+.(/0123456’!.17+/12895:49:;<575(4"8:>’#!##$互素多项式在矩阵秩中的应用蒋永泉!徐州师范大学数学系#江苏徐州!!!@@@C"摘要$给出了互素多项式在矩阵秩讨论中的几个结果$@"设C!%"#5!%""+%%�",

2、$若C@!%"#C!!%"#’#C=!%"互素#且C@!0"C!!0"’C=!0"&##则<$L!C@!0""AL!C!!0""A’AL!C=!0""$!=8@"<$""设C;!%""+%%&#;&@#!#’#=#0",

3、!##$"#"?##A@?#$关于矩阵秩的研究是线性代数的一个基本内容#在一般的高等代数或线性代数教材中都有以下两个关于矩阵秩的问题!本文中用,!+"表示数域+上全体<阶方阵作成的矩阵环#用L!0"表示矩阵0<的秩"$问题@!设0",!+"#若0!<&0!称0为幂等矩阵"#则L!0"AL!08["&<$问题!!设0",!+"#若0!<&[!称0为对合矩阵"#则L!0A["AL!08["&<$对以上两个问题!幂等矩阵和对合矩阵"的研究非常有意义#一方面#幂等矩阵和对合矩阵是两类重要的矩阵#它们有很好的理论价值(

4、另一方面#作为线性代数的基本内容#矩阵的秩)矩阵的特征值和特征向量)矩阵的相似对角化以及齐次线性方程组的解和基础解系等一系列问题#都可以在这两类矩阵的研究中得到体现#这对学生熟练掌握和灵活应用线性代数的基本知识是非常有益的$本文通过对以上两个问题的研究#得到了一般结论!定理@"#并其作了进一步的推广$@!主要结果本文的讨论需要用到下面$个基本结论$引理@!设0#1",!+"#若01&##则L!0"AL!1"$<$<引理!!设0#1",!+"#则L!0A1"$L!0"AL!1"$<引理"!设0#1",!+"#则

5、L!01"$L!0"#且L!01"$L!1"$<引理$!设0#1",!+"#则L!0"AL!1"$L!01"A<$<定理@!设C!%"#5!%""+%%�",!+"$若C!%"#5!%"互素#且C!0"5!0"&##则

6、!A作者简万方数据介$蒋永泉!@%C!D"#男#江苏宜兴人#副教授#主要从事矩阵理论的研究’徐州师范大学学报!自然科学版"第!!卷A!!!$L!C!0"?!0""AL!5!0"!0""$L!C!0""AL!5!0""$另一方面#由C!0"5!0"&#及引理@#有L!C!0""AL!5!0""$<#所以有L!C!0""AL!5!0""&<$定理!!设C!%""+$%%#;&@#!#&#=#0",!+"$若C!%"#C!%"#&#C!%"互素#且;<@!=C@!0"C!!0"&C=!0"&##则<$L!C@!0

7、""AL!C!!0""A&AL!C=!0""$!=8@"<$证!若C!%"#C!%"#&#C!%"互素#则存在?!%"#?!%"#&#?!%""+$%%#使得@!=@!=C@!%"?@!%"AC!!%"?!!%"A&AC=!%"?=!%"&@#于是有C@!0"?@!0"AC!!0"?!!0"A&AC=!0"?=!0"&[$由引理!和"#得到<&L!["&L!C@!0"?@!0"AC!!0"?!!0"A&AC=!0"?=!0""$L!C@!0"?@!0""AL!C!!0"?!!0""A&AL!C=!0"?=!0

8、""$L!C@!0""AL!C!!0""A&AL!C=!0""$不等式的另一部分用数学归纳法来证明$当=&!时#由引理@知结论成立$假设结论在=&:时成立$当=&:A@时#由C!0"C!0"&C!0"&#及归纳假设#有@!:A@L!C@!0""AL!C!!0""A&AL!C:!0"C:A@!0""$!:8@"<#再由引理$#有L!C:!0""AL!C:A@!0""$L!C:!0"C:A@!0""A<