秩在矩阵相似中的应用

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1、第15卷第1期高等数学研究Vo1．15，No．12012年1月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJan．，2012秩在矩阵相似中的应用谢启鸿(复旦大学数学科学学院，上海200433)摘要给出矩阵的秩在矩阵相似理论中的一些应用．关键词矩阵的秩；矩阵相似；特征值~Jordan标准形·中图分类号O151．21文献标识码A文章编号1008—1399(2012)01—0030—03矩阵的相似理论，特别是矩阵的Jordan标准形r((A—oI)一)+r((A—10I)m+)一理论是整个高等代数课程

2、中的重点之一，也是难点2r((A—。I))．之一．作者在给复旦大学数学科学学院本科生讲授证明注意到J(O)满足关于秩的等式高等代数的过程中发现，要讲解好矩阵的Jordan标fk—m，k>m，r(^)=准形理论，至少应该包含三个方面的教学内容：应10，k≤m．该教会学生如何计算矩阵相似的全系不变量(比如若A。≠0，则对任意的≥1，有说行列式因子，不变因子和初等因子组)，并通过它r(J(。))一k．们得到矩阵的Jordan标准形；应该教会学生如何利因此A的Jordan标准形中属于特征值。的阶数大用Jordan

3、标准形的性质去进行一些理论上的证明，于的Jordan块的个数为这即为Jordan标准形的应用；应该教会学生如何通r((A—。I))一r((A—oI)m+)．过一些相似不变量(比如说特征值，极小多项式以及同理知A的Jordan标准形中属于特征值。的阶数矩阵的秩等)得到Jordan标准形的相关信息或者完大于等于m的Jordan块的个数为全决定Jordan标准形．r((A—。L)一)一r((A—。I))．本文主要以矩阵的秩这一相似不变量作为出发从而在A的Jordan标准形中，Jordan块．，(。)的个点，给出

4、它在矩阵相似理论中的一些应用．这些应数为’用作为上述第三个方面的教学内容，贯穿在Jordanr((A—。L)一)+r((A—。L)卅)一标准形的整个教学过程中．2r((A—。I))．定理1[1]2。。设A是阶方阵，。是A的特征推论1设，，⋯，是阶方阵A的全体特值，则在A的Jordan标准形中属于特征值。的征值，则A的Jordan标准形被非负整数值Jordan块的个数为r((A～AiI))(1≤i，J≤)一r(A一10L)．唯一决定．对定理1进一步细化，即有如下的定理2，其证证明在A的Jordan标准形中可

5、能出现的明依赖于对Jordan块幂的秩的计算．为方便起见，Jordan块为t，()，其中1≤i，D't≤，并且对任意对任意n阶方阵A，约定的1≤i≤，成立A。一L．r((A—I)”)：r((A—I)井)，定理2设。是阶方阵A的特征值，则在A的故由定理2即得结论．Jordan标准形中Jordan块J(。)(1≤m≤)的个推论1说明方阵A的全体特征值以及若干个相数为关矩阵的秩完全决定了A的Jordan标准形．收稿日期：2011一O4—14；修改日期：2011-12—13推论2设阶方阵A和B有着相同的特征值，基

6、金项目：复旦大学数学科学学院数学类基础课程教学团队(国家记为，z，⋯，．若对所有的1≤i，J≤成立级)项目资助r((A—fI))一r((B—J))作者简介：谢启鸿(1976一)，男，江西赣州人，博士，副教授，主要从事代数几何研究．Email：qhxie@fudan．edu．cn则A与B相似．第15卷第1期谢启鸿：秩在矩阵相似中的应用31证明由推论1知，A，B有相同的Jordan标根据例1、例2和引理1，如果知道了方阵A的准形，从而A与B相似．Jordan标准形，则可直接求出所有A(志≥1)的推论2给出判别

7、两个方阵相似的一种方法．Jordan标准形．进一步，若A是非异阵，则可直接利用定理1和定理2可以求出Jordan块的幂的求出所有(忌≠O)的Jordan标准形．下面给出两Jordan标准形．个特例，它们都可以通过例2和推论2中的方法获例1设J=J(O)为特征值0的，z阶Jordan得证明．块，求J的Jordan标准形，其中1≤足≤．例3设阶方阵A的特征值全为1，证明A与解可设所有的A(愚≥1)都相似．，一kp—r·证法1设A的Jordan标准形为其中1≤r<．显然J的特征值全为0，其特征多diag{J(1

8、)，J，(1)，⋯，(1))，，项式为“，其极小多项式为．因为则A相似于r(J)=72一忌，diag{J(1)，．，，(1)，⋯，(1))．，故由定理1知，的Jordan标准形中有是个Jordan由例2知，(1)的Jordan标准形为t，(1)，故由块，并且Jordan块的最大阶数为P．由定理2知，在引理1知，A的Jordan标准形与’A的Jordan标准形的Jordan标准形中，Joi：dan块I，(O)的个数为相同，从而A