典型李超代数的极大Adjoint二次迷向空间的维数.pdf

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1、第3期华东师范大学学报(自然科学版)NO．32015年5月JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScienceMay2015文章编号：1000—5641(2o15)o3—0057—10典型李超代数的极大Adjoint二次迷向空间的维数王珊珊，舒斌(华东师范大学数学系，上海200241)摘要：对复数域上的典型李超代数定义了极大Adjoint二次迷向空间，这是典型李超代数的内蕴特征；对每一类典型李超代数的极大Adjoint二次迷向空间做了细致的刻画，并确定它们各自的维数．关键词：迷向奇根；极大Adjoint二次

2、迷向空间；典型李超代数中图分类号：O153文献标识码：ADOI：10．3969／j．issn．1000—5641．2015．03．008DimensionsofmaximaladjointisotropicspacesforclassicalLiesupera1gebrasWANGShan—shan．SHUBin(DepartmentofMathematics，EastChinaNormalUniversity，Shanghai200241，China)Abstract：ForclassicalLiesuperalgebrasovercomplexnu

3、mbers，thispapergaveanotionofmaximalstrongadjointisotropicspaces，whichisanintrinsicnatureofcomplexclassicalLiesuperalgebras．ThispaperisdevotedtothedeterminationofmaximalstrongadjointisotropicspacesofallkindsofclassicalLiesuperalgebrasandtheirdimensions．Keywords：isotropicoddroots；

4、maximaladjointisotropicspace；classicalLiesuperalgebras0引言特征数大于5的代数闭域上单有限维李代数可分为两类[1】：典型李代数与Cartan型李代数．设G为定义在这样的域尼上的单李代数，Premet在1987年证明了一个非常重要的定理[2]_如果G含有强幂0元，即有X≠0，X∈G，使得(ad)=0．那么G为Cartan型李代数．反之如果G不含强幂0元则G为典型李代数．这说明强幂0元可用来区分典型李代数与Cartan型李代数．由于定义在复数域的上单李超代数也可以分为两类[3]．典型李超代数与Carta

5、n型李超代数．我们自然有这样一个问题：强幂0元能否用来区分典型李超代数与Cartan型李超代数?答案是否定的，事实上，典型李超代数中存在大量的强幂0元．如(8888)是典型李超代数A(1，1)的强幂0元．收稿日期：2014—01第一作者：王珊珊，女，博士，研究方向为李代数，算子代数．通信作者：舒斌，男，教授，研究方向为李代数．E-mail：bshu~math。ecnu．edu．cn华东师范大学学报(自然科学版)2015焦1Adjoint二次迷向空间的定义及相关概念在本文中，我们总设G=G百0GT为复数域上的典型李超代数．取定Caftan子代数1)以及典

6、范Borel子代数b．记对应的根系为△=△百u△T．定义1．1设∈A丁，如果有[G，G】=0成立，则称为迷向奇根；反之如果『G。，G]≠0，则称为非迷向奇根．引理1．2设OL为迷向奇根，任取。∈G，则有(ad。)=0．证明由定义知『G，G。]=0，因此：[，]=0．任取∈G，则有：(ad)。()=。，[，]]=，]，】一【，[，]]=一，[，】]，从而(ady)()=0．再由的任意性可得到：(ad)0=0，证毕．取定非空的子集s△1，满足以下条件：对任意的OZ，∈S，均有：[G，G】=0(由迷向奇根组成的单点集显然满足条件)．记S=(l∈S)．引理1．

7、3对任意的H∈s，均有(ad日)0=0．证明由引理1．2，只需证：对任意的∈G，∈G口，，∈S，有：(ad(y+))。=0即可．任取∈G，(ad(y+))。()=[+，[+，】]=0，由的任意性推出(ad(y+))=0，证毕．注s称为G的Adjoint二次迷向空间．由于单李代数是奇部为0的典型李超代数，故可认为它的Adjoint二次迷向空间为0．在本文接下来的讨论中，我们说的典型李超代数均是指除了单李代数以外的典型李超代数．定义1．4令S为李超代数G的Adjoint二次迷向空间，S称为极大的，如果S不是G的其它Adjoint二次迷向空间的真子空间．2典

8、型李超代数极大Adjoint二次迷向空间的研究本文下面对每一类典型李超代数的奇根分别进行研究，