低维李超代数分类论文

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1、学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导炻的指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意．作者签名：够啡日期：鲨！！：至多学位论文授权使用声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版．有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅．有权将学位论文的内客编入有关数据库进行检索．有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学

2、位论文在解密后适用本规定．学位论文作者签名：日期：２Ｑ“。６怠导师日期：、６智驯摘要本文介绍了一种得到低维李超代数分类的方法，并用这种方法对维数不超过四的李超代数进行了分类．关键词：李超代数，分类，低维．３ＡｂｓｔｒａｃｔＩⅡｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｄｅｓｃｒｉｂｅ８ｓｉｍｐｌｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒｏｂｔＢｉｎｉｎｇ８ｃＩａ部ｉ丘ｃａｔｉｏｎｏｆｓｍａｌＬｄｉｍ曲菌ｏｎｍｓ０１ｖａｂｌｅＬｉｅｓｕｐｅｒａｌｇｅｂｒ硒．Ｕｓｉｎｇｔｈｉｓｍｅ七ｈｏｄ，ｗｅｏｂｔａｉｎｔｈｅｃ１８ｓｓｍｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＬｉｅｓｕｐｅｒａ岵ｅｂｒ８ｓｗｉｔｈｄｉｍｅｎＢ王ｏｎⅡｏｍ

3、ｏｒｅｔｈ８丑ｆｏｕｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄ：ＬｉｅＳｕｐｅｒ８ｌｇｅｂｒａｓ；Ｃ】ａ鹋访ｃＢｔｉｏｎ；ＬｏｗＤｉｍｅｎｓｉｏｎ．§１．引言李超代数的研究起源于２０世纪７０年代，由于它在物理学中的重要作用及与李代数的密切关系，发展非常迅速，李代数、李超代数的分类及表示理论已经有了很大的发展．尤其在分类方面，有限维复半单李代数的分类、实半单李代数的分类已经完全解决（参见［１】，［１０】），１９７０年Ｋ８ｃ对李超代数作了全面详尽的论述，并给出了特征零代数闭域上有限维单李超代数的分类定理（参见【３］）．在低维李代数分类方面，Ｍｕｂａｒ日ｋｚｊａｎｏｖ于１９６３年给出了实数域上６维可解李代数的

4、分类（参见【６】，［７１），１９９０年Ｊ．Ｐ８ｔｅｒａ和Ｈ．ｚａ∞ｅｎｈＢｕ８给出了完备域上４维可解李代数的分类（参见【２】），２００５年ｗ＿Ａ．ｄｅＧｒ∞ｆ给出任意域上维数不超过４的可解李代数的分类（参见【５］）．本文将对所有维数不超过４的李超代数进行分类，首先我们称一个李超代数是可分解的，如果该李超代数可以分解为两个非零理想的直和．由于李超代数的岛部分为李代数，所以首先给出三维以内的李代数的分类，再用待定系数法设定‰在三Ｉ上的作用，通过验证条件来给出所有可能的情况，最后将所有不可分解的李超数进行分类．若工＝岛０工Ｉ为李超代数，由定义容易知道我们需验证以下三个条件成立：（Ｉ）缸，

5、《驼，驺》）＋《抛，（驰，Ｆ１》）＋（蜘，扫１，，２））＝ｏ，（Ⅱ）（￡１，（ｙ１，§位））＋（ｙ１，（驰，￡１））一（Ⅳ２，《∞１，ｙ１））＝ｏ，（Ⅲ）扫ｌ，扛ｌ，ｚ２））＋扛１，（ｚ２，掣１））＋（Ｔ２，忙１，ｖ１））＝ｏ，ｑ∈Ｌｏ，矾∈ＬＩ．我们分别记条件（Ｉ）为（１，ｌ，１），条件（Ⅱ）为（０，ｌ，１），条件（Ⅲ）为（ｏ．ｏ，１）．此外在本论文中我们假设所讨论的李超代数均定义在特征为零的代数闭域上．§２．预备知识定义２，１．设Ｌ＝Ｌ００ＬＩ是域Ｆ上的Ｚ２一阶化超代数，我们称￡为一个李超代数，若其乘法（，）满足：（Ａ，Ｂ）＝一（一１）“ｐ（Ｂ，Ａ），（一１）佃（Ａ，（Ｂ，Ｇ

6、））＋（一１）。ｐ∞，（Ｇ，Ａ））＋（一１）ｐ７（Ｇ，（且，Ｂ））＝ｏ，若对任意的Ａ∈瓦，Ｂ∈％，Ｇ∈“；ｄ，反７∈Ｚ２．显然如果工＝如。西是一个李超代数，那么岛是一个李代数，而工Ｉ可以看作如－模．以下我们说岛中的元素￡在如上的作用，均是指。以映射ａ如ｋ：研—・白：ｙ一（ｚ，，）作用在工Ｉ上．反之对于一个李代数‰以及一个岛一模工Ｉ，若存在一个双线性映射Ｐ：研×工Ｉ—＋工６满足：【ｑ，Ｐ（阢矿）】＝Ｐ（Ｑ（ｕ），ｙ）＋Ｐ（Ｕｑ（ｙ）），Ｑ∈岛，以ｙ∈ＬＩ，Ｐ（仉ｙ）（Ｉ矿）＋Ｐ（ＶＩ矿）（矿）＋Ｐ（彬ｕ）（ｙ）＝ｏ，我｛ｆ】可以在岛ｅ蟊定义（，》：ｎＶ｝矿∈ＬＩ．（口，Ｒ）＝［

7、ｑ，Ｒ】，（Ｑ，矿）＝一（以Ｑ）＝ｑ（矿），《矾ｙ）＝Ｐ（∽ｙ），０，Ｒ∈岛，ｑ∈岛，矿∈ＬＩ，阢ｙ∈工Ｉ．则工＝岛ｏＬＩ关于乘法运算（，）构成一个李超代数．定理２．１．【８】（李定理）设（Ａｙ）是域Ｆ上的有限维可解李代数三的有限维表示，则在ｙ中存在一组基口ｌ，”２，…，％使得对任一的ｚ∈Ｌ，Ｐ（ｚ）在该基下的矩阵为上三角矩阵．在以下论述中，由于我们所要讨论的李超代数的工６部分都是可解的李代数，而三ｉ又可以看作岛－模，符台该定理的条件，所以我们总假设ＬＩ中存在一组基