《鞍点问题的多参数SSOR预条件求解》.pdf

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1、第32卷第3期贵州大学学报(自然科学版)Vo1．32No．32015年6月JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)Jun．2015文章编号1000—5269(2015)03—0010—04DOI：10．15958／j．cnki．gdxbzrb．2015．03．04鞍点问题的多参数SSOR预条件求解王慧勤(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡721013)摘要：针对鞍点问题的预条件迭代求解方法，通过引入多参数使系数矩阵的分裂形式更加一般化，运用矩阵代数理论分

2、析多参数形式下算法的收敛性。最后给出数值例子来检验多参数预条件算法的优势，并在数值上分析收敛速度与参数的变化趋势。关键词：鞍点问题；预条件方法；迭代法，收敛性中图分类号：0241．6文献标识码：A在二次规划问题(QP)、线性规划问题(LP)和那么顿点J口J题就转化力：b。电磁学中的Maxwell方程求解以及计算流体力学通常的做法是将分解为．=D。一L。一中的Stokes方程的有限元离散等问题的数值求解U，其中过程中，都会产生如下形式的鞍点问题：。=(三吕)，=(：)，=(：-。B))㈩这里Q是一个适当的X

3、n的对称矩阵，文其中A∈R是对称正定矩阵，B∈R[4]在矩阵分裂的基础上引入参数Ot，JB，将系数矩(m≥乃)为列满秩矩阵，向量∈R，_y，g∈阵分裂为=D一L一，其中R，是B的转置矩阵，，Y是未知向量，f，g是已知向量。在实际问题中经常是m>>n，此时鞍点(三=问题的解是唯一的。这类问题的求解在整个数值计算过程中占据(三)着重要的位置，因此如何快速有效地求解鞍点问题满足Ot+口=1，得到广义的SSOR迭代法能使迭就显得尤为重要，并具有深远的现实意义。求解鞍代法收敛性更好。为加速迭代法的收敛性，本文在点问

4、题的主要方法是直接法和迭代法_1J。直接此基础上通过增加参数y使分裂形式更加一般化，法的最大缺点是当矩阵条件数很大时，直接法求解令=D3一L3一U3的稳定性较差，而且需要引入大量填充元导致存储量和计算量很大。另一方面，鞍点问题中的系数矩(三-=阵元素具有高度稀疏性，随着计算机的发展，迭代法受到越来越多的国内外学者和研究人员的关注，并逐渐成为数值代数方向的研究热点。不确定的(：㈩Uzawa方法、预处理的HSS交替方法、SOR-LIKE方满足y一(+)=1，>0，此时当0

5、v子空间方法都是常见的迭代一般意义下的SSOR预条件子为法。P(D，一toL)D3(D一~oU3)一般地记，令：(一AB)，=()，6=()c2，=(一三B一Q)收稿日期：2014—11—13基金项目：陕西省教育厅科学研究计划项目(14JK1052)；陕西省科学研究计划项目(2013JM1001)作者简介：王慧勤(1979一)，女，陕西榆林人，硕士，讲师，研究方向：矩阵计算与数学教育，Email：tg3048@163．com通讯作者：王慧勤，Email：lg3048@163．eom．第3期王慧勤：鞍点问题

6、的多参数SSOR预条件求解BTA-1By。整理后有A(’，一∞)(y一()Y==∞(2一(cJ)(2QBA～By。f【，A]一)一A。('y-~．o)('y-flW)Q一如果设为矩阵QBAB的一个特征值，那一．一日J么就有这样，预处理后的系数矩阵就变为P，此时有∞。(2—03)(1一A)=A[(2一)一A]P～Jz=Pb(4)(y一)(一3a,)。1定义和引理2收敛性定理引理1_】设方程组Ax=b且4为对称正定矩阵，在迭代法求解方程组的过程中，判别迭代法是则当0<∞<2时，SOR迭代法和SSOR迭代法是否

7、收敛的关键就是看迭代矩阵的谱半径能否小于收敛的。1，而谱半径又和矩阵的特征值密切相关。引理2⋯实系数二次方程A。一6A+C=0的两个定理设鞍点问题的系数矩阵中A∈R是对称根的模都小于1的充分必要条件系数b和c满足正定矩阵，B∈R(m≥n)为列满秩矩阵，一lcl<1，lbI<1+C。(O／+)=1，>0，那么引理3如果令为矩阵QBAB的一个特征(1)当0<<1，参数满足_二值，那么当数A满足如下等式(t)(2一∞)(1一A)p=aE~(2一)一A](一<时，预处理后的P的特征值满足lAf

8、1，迭代法收敛。时，可以得到数A为矩阵P的一个非零的特征值。(2)当：1时，A=1是矩阵P～的一个证明假设A为矩阵P的一个非零的特征值，特征值，对应的特征向量是(1，0，0，⋯，0)，迭代(，Y)∈R是对应的特征向量，那么法不收敛。证明由引理3可知矩阵P-1的特征值A满足A((5)如下关系：即(2一)(1一A)=A[∞(2一)一A](—Ot~．O)(一卢ccJ)(一)：入整理可得：厂AA(—Ot~．O)(y一卢(cJ)一A[(