参数取值问题求解策略

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1、参数取值问题求解策略参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，主要体现在以下四个方面：一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1．已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x

2、+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,∴a+5>3即>a+2，上式等价于或，解得a<8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x<54sinx+即a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t[1,1],整理得2t24t+4a+>0,(t[1,1])恒成立。设f(t)=2t24t+

3、4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在[1，1]内单调递减。只需f(1)>0,即>a2.(下同)例2．设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.所求量的取值范围把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA=f（k），xB=g（

4、k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB=—（xA/xB）由判别式得出k的取值范围思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线垂直于x轴时，可求得；当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以===.由,解得，所以

5、，把直线l的方程y=kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+xB=f（k），xAxB=g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB=—（xA/xB）由判别式得出k的取值范围综上.思路2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.

6、解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得（*）则令，则，在（*）中，由判别式可得，从而有，所以，解得.结合得.综上，.说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例3．当x(1,2)时，不等式(x1)2

7、(x-1)2y2=logax分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga2>1,a>1,1

8、p

9、2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数

10、。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,设f(p)=