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1、求参数取值范围问题的几种基本策略李党望上海市宝山屮学201900参数也称参变数或参变量，是指相对于未知数來说可以在一定范围内取值的常数，有时也指用來表示不同未知数之间联系的相关未知数•本文中的参数界定为前者•求参数収值范围，是学生数学学习过程中常见的一类问题，也一直是高考考察的重点，同吋也是是教学中的一个难点.其基本形式为：已知/(%,=(>or<)0,求d的取值范围.笔者对此做了一下归纳研究，提供以下几种策略与同行交流.一.看能否建立参数的不等关系，然后解不等式.该策略的关键是从条件中寻找参数的不等量关系，建立起关于参数的不等式，然后解不等式即得结果.例1：(2003±海高考
2、理科21题)在以0为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为A0AB的直角顶点.已知
3、AB
4、二2
5、OA
6、，且点B的纵坐标大于零•是否存在实数臼，使抛物线祇2—1上总有关于直线0B对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求日的取值范围.(本题删去了前两小题)解：依题意可得：直线0B方程：y=丄兀2设P(加,yj,Q(上,y2)为抛物线上关于直线OB对称两点，于是可设P0的直线方程为：y=-2x^b由y=ax2-得祇？+2兀—+根据题意，我们有°,b的两个关系y=-2x+b(1)根据直线与抛物线有两个交点，有A〉。，这是一个的不等关系/(«,&)>0；B
7、J：l+a(l+b)
8、>0……①(2)由P0中点在直线OB上可得的一个等量关系g(a,b)=0即：b+—=0…••…②2a因为该问题是求参数d的取值范围，于是我们可以从②中解出b,代入①，就可得关于a的53不等式：1+^(1-—)>0,。>二.2a2评：通过d、b的一个等式和Q、b的一个不等式，最后转化为关于d的不等式.例2：（2007上海高考理科21题）我们把由半椭圆二+〈=1（兀$0）与半椭圆crb_22L+*=l（兀WO）合成的曲线称作“果圆”，其中=b2+c2,a>otb>c>0・trcr如图，点化，f、,佗是相应椭圆的焦点，4，舛和件，场分别是"果圆”与兀，ya5乂八I/",・・.Pg.评
9、：本题把纟看作一个参数，建立了关于2的不等式.aa一.看能否建立参数关于另一变量的等量关系，转化求函数值域.该策略的关键是建立起参数关于另外一个变量的等量关系即：g（d）=/（/）」€D然后问题转化为一个函数的求值域M题.例3：若函数/（x）=asinx+bcosx的最小值为加，/（—）=1,求加的収值范围.解：据题意有，m--yja2+b2,^~ci+丄方=122可建立加关于a的等量关系：加=-J4/—4屆+4（aw/?）评：本题建立了加关于。函数关系（即等式关系）m=h（a）,转化为求值域问题.例4：已知圆C:x2+/-2x-2y+l=0与直线/：y=he交于两点，点M（0
10、,b）,MP丄MQ,当heU-［时，求k的取值范围.<2丿解：设P(兀1』1),。(兀2』2)宀八2兀-2〉，+1=0二(]+叭2_2(2+2小+1=0y=kx兀+占二2±驾，坷尤=—L^,A>0=>^>01-1+疋121+疋MP=(x]yy}-bMQ=(x2Jy2-b)MP-MQ=0X]%2+(y,-by2-/?)=01+/1+Z?(-3)12'-2<需<£kg(1,6一V23)u(6+血,+oo).评：本题首先建立了£与方的等量关系/伙)=g(b),求出函数g(b)的值域，然后解关于£的不等式.一.看能否将问题条件中的代数关系转化为图形间的关系，数形结合.一种数量关系有
11、其代数形态和儿何形态，如果不能或不方便从代数的角度入手，那么我们可以考虑从其形的角度思考.例4:(2008上海高考理科11题)方程x2+^2x-=0的解可视为函数y=x+^2的图像与函数y=l-的图像交点的横坐标。若方程兀4+仮-4=0的各个实根心勺，…无仗S4)(4)所对应的点门,一(1=1,2,k)均在直线y二兀的同侧，则实数&的取值范围是山.4解：方程x4+cuc-4=0的根为方程二—的根，X即函数j7=x3+。与y=—图象交点的横坐标；如图：当函数y=x3-^a图彖经过(2,2)点时，d=—6,再往下移动，两个交点位于直线y=x的下方，ae（一8,-6）；当函数y=x
12、3+a图象经过（一2,-2）点吋，g=6,再往上移动，两个交点位于直线y=x的上方，ae（6,+oo）；综上，cig(—6)u(6,+°°)例5：（2。。9上海高考理科II题）当0—时，不等式成立，则实数细収值范围是.解：如图问题等价于：在［0,1］上?7Y函数y二sin^的图象在函数y=kx图象的上方所以，k<评：数转形，形转数，数形结合是常用策略，要有足够的应用意识.一.看能否参数分离，转化为函数的最值或值域问题.该方法主要在解决不等式的恒成立，不等式有解问题和方程有解问题时，较为方便
