导数中的求参数取值范围问题.doc

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1、帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数增区间，则在此区间上导函数，如已知函数减区间，则在此区间上导函数。（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知R，函数.（R，e为自然对数的底数）（1）若函数内单调递减，求a的取值范围；（2）函数是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由.解：（1）=.上单调递减，则对都成立，对都成立.令，则,.（2）①若函数在R上单调递减，则对R都成立即对R都

2、成立.对R都成立令，图象开口向上不可能对R都成立②若函数在R上单调递减，则对R都成立，即对R都成立，对R都成立.故函数不可能在R上单调递增.综上可知，函数不可能是R上的单调函数例2：已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；解：令得，故两个根一正一负，即有且只有一个正根函数在区间上总不是单调函数在上有且只有实数根故，而单调减，，综合得例3.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（I）的定义域是由及得；由及得，

3、故函数的单调递增区间是；单调递减区间是（II）若对任意，，不等式恒成立，问题等价于，由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；当时，；当时，；当时，；问题等价于或或解得或或即，所以实数的取值范围是。例4．设函数,(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)，可得－mlnx≥－x，x∈(1，＋∞)，即m

4、≤.记φ(x)＝，则f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.求得φ′(x)＝当x∈(1，e)，φ′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)＞0.故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值，即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.(2)函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a，在[1,3]上恰有两个相异实根．令g(x)＝x－2ln，则g′(x)＜1－.当x∈[1,2)时，g′(x)＜0；当x∈(2,3]时，g′(x)＞0.∴g(x)在(1

5、,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．故g(x)min＝g(2)＝2－2ln2.又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3，∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)．故a的取值范围是(2－ln2,3－2ln3].二、针对性练习1.已知函数若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围。解：由，得．又函数为[1，4]上的单调减函数。则在[1，4]上恒成立，．所以不等式在[1，4]上恒成立．即在[1，4]上恒成立。设，显然在[1，4]上为减函数，所以的最小值为的取值范围是2.已知函数（1）若存在，

6、使成立，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求的取值范围.解:（1）即令时，时，在上减，在上增.又时，的最大值在区间端点处取到.，在上最大值为故的取值范围是，（3）由已知得时，恒成立，设由（2）知当且仅当时等号成立，故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意.由可得从而当时，故当时，为减函数，又于是当时，即故不符合题意.综上可得的取值范围为3.已知函数，设在（0，2）上有极值，求a的取值范围.解：由可得，