《行列式计算中的几种技巧》.pdf

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1、第35卷第6期高师理科学刊Vo1．35No．62015年6月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityJun．2015文章编号：1007—983l(2015)06—0031—03行列式计算中的几种技巧李兵方(陕西铁路工程职业技术学院基础课部，陕西渭南714000)摘要：行列式的计算较复杂，常规的方法是利用行列式的定义和相关定理求解．讨论几种非常规的计算方法，如对称法、构造法和线性因子法等，根据所计算行列式的特点，选择恰当的方法将使得行列式的计算更加简便、快捷．关键词

2、：行列式；对称法；构造法；线性因子法；分块矩阵中图分类号：0151．22文献标识码：Adoi：10．3969／j．issn．1007—9831．2015．06．010SeveraltechniquesinenvaluatingthevalueofdeterminantLIBing-fang(DepartmentofBasicCourse，ShaanxiRailwayInstitute，Weinan714000，China)AbstIlact：Thecalculationofdeterminantiscomplica

3、ted，thecommonwayistousethefeatureofdeterminantandtherelatedthe0rems．Someuncommonmethodswereintroduced，suchassymmetrymethod，constructionmethodandthelinearfactormethod．Notings0mecharacteristicsinthedeterminantandchoosingtheappropriatemethodarebeneficialtothecalc

4、ulations．Keywords：determinant；symmetrymethod；constructionmethod；linearfactormethod；blockmatrix计算行列式有很多常规的方法，如定义法、化三角行法和降级法等．但仅用这些方法有时还不能计算一些特殊的行列式．为解决这一问题，本文介绍几种非常规的行列式计算方法，以拓宽行列式计算的解题思路．1对称法当一个行列式中有两个元素的地位相同，也就是互换它们的位置并不影响行列式的值时，称这两个元素对称．在行列式计算中可以用对称关系简化行列式的计

5、算．Ⅸ+9o【9⋯001o【+_B⋯00例1计算=00⋯+p800⋯1+8解按第1行展开得=(+)一。一一，即一一：(一一一z)，由此递推得，一1：”NND．中，对称，所以一一=．当≠时，从D一一”中消去．一收稿日期：2015-01—05作者简介：李兵方(1980一)，男，河南虞城人，讲师，硕士，从事线性代数研宄E-maihbingfangli@163．com32高师理科学刊第35卷Dn得到=．当=时，=+pO．一=+(1+一：)=⋯=(，z+1)．—2构造法根据题设条件构造一个新的行列式，而且这个新行列式易于计算

6、．2口4bbb例2计算行列式D=CC2C4dd分析观察可知，如果加一行和加一列该行列式就变成了范德蒙行列式解设X，Y，Z，为未知量，构造线性方程组X+ay+a2z+a3u=a4++66b．(1)X+cy+C2z+C3=C4、+dy+d2z+d“=d4设行列式G为方程组(1)的系数行列式，则G=(a一6)一c)一)(6～c)(6一)(c—d)．当，6，c，中有两个相等时，显然。=。．当，6，c，互不相等时，G≠。，方程组有唯一解=虽，即D=Gu．作4次方程一ut一zt一yt—X=0，由式(1)可知，a，b，c，d都是

7、此方程的根．由根与系数的关系可知，甜=a+b+C+d，故D=(a一6)(一c)(一)(6一c)(6一)(c—)(+b+C+d)．3线性因子计算法如果行列式D有些元素是变量X(或某个参数)的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f(x)，然后将D施行变换，找出线性因子，则D以这些线性因子的积g(x)作因子，即D=q(x)g(x)．比较f(x)和g(x)的次数，如果不等，需再找线性因子，如果相等，则q(x)为待定系数．从D和g(x)中挑出一个特殊的项来确定q(x)，从而完成了行列式D的计算。．对于多变量的情况可类似讨

8、论．I1，1I‘例3计算行列式D=lI1：1．‘1111一Yl解为了快速计算行列式D的值，借助函数，设D：厂(，Y)．令=0，有厂(0，Y)=0，故函数厂(，Y)有因式，把换为一X，有I厂(一X，Y)=f(x，Y)，即f(x，Y)为X的偶数，从而X为f(x，Y)的因式．由X，Y的对称性可知，Y也是f(x，Y)的因式，而f(x，Y)的最高次数是4，故f(，Y)