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1、第24卷第2期山西大同大学学报(自然科学版)Vol.24.No.22008年4月JournalofShanxiDatongUniversity(NaturalScience)Apr.2008N阶行列式的几种常见的计算方法王丽霞(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同037009)摘要:该文通过具体实例给出了n阶行列式的几种常见的计算方法,仅供读者参考.关键词:行列式三角形行列式降阶法递推法范德蒙行列式中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1674-0874(2008)02-0011-04n(n-1)行列式的产生和最早的应用都是出现在解线2形,行列
2、式的值等于(-1)与次对角线上所有元性方程组中,不过它现在的应用范围已较为广泛,成为许多学科相当重要的工具.所以,对于许多人来素的乘积.说,掌握行列式的计算是十分必要的.为此,笔者在例2.计算n阶行列式查阅部分参考资料的基础上,结合自己的教学实abb⋯b践,对行列式的计算方法进行了初步探讨,总结出bab⋯b以下几种常用方法.D=bba⋯bn⋯⋯⋯⋯⋯1定义法bbb⋯a.利用n阶行列式的定义计算其值.例1.计算n阶行列式解:这个行列式的特点是每一行有一个元素a,010⋯0其余n-1个元素是b,根据行列式的性质,把第二列002⋯0加到第一列,行列式不变,再把第三列加
3、到第一列,D=%%%%%行列式不变,⋯,直到第n列也加到第一列,即得n000⋯n-1abb⋯bn00⋯0.bab⋯bD=bba⋯b=n解:据行列式的定义,行列式展开后每项都是n⋯⋯⋯⋯⋯个元素相乘,且这n个元素是Dn中位于不同行与不bbb⋯a同列的,故D中只有一个非零项12⋯(n-1)n=n!这n一项行标为自然数顺序排列,对应的列标构成的排1bb⋯bn-1列为23⋯n1,其逆序数为n-1,故Dn=(-1)n!1ab⋯b2化为三角形的方法[a+(n-1)b]1ba⋯b⋯⋯⋯⋯⋯运用行列式的性质把行列式变换成位于主对1bb⋯a.角线一侧的所有元素全等于零,这样得到的
4、行列式等于主对角线上元素的乘积,对于次对角线的情第二行到第n行都分别加上第一行的(-1)倍,收稿日期:2008-01-08作者简介:王丽霞(1979-),女,山西阳高人,助教,在读硕士,研究方向:高等代数.·12·山西大同大学学报(自然科学版)2008年就有依此类推来计算行列式的值.D=[a+(n-1)b]×例4.计算n阶行列式n1bb⋯b!+"!"⋯000a-b0⋯01!+"⋯0000a-b⋯0=Dn=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯00⋯!+"!"000⋯a-b00⋯1!+".n-1[a+(n-1)b](a-b).解:将Dn按第一行展开后再将第二个行列式按第一列展开得3
5、降阶法Dn=(!+")Dn-1-!"Dn-2.即运用行列式按行(列)展开的相关定理使高阶Dn-!Dn-1="(Dn-1-!Dn-2).行列式转化为低阶行列式来计算其值.此式对一切n都成立,故递推得例3.计算n阶行列式2Dn-!Dn-1="(Dn-2-!Dn-3)=xy0⋯003"(Dn-3-!Dn-4)=⋯=0xy⋯00n-2"(D2-!D1)=Dn=⋯⋯⋯⋯⋯⋯"n-2[(!+")2-!"-!(!+")]="n(1)000⋯xy在上式中,!,"的地位等同,故同理可得y00⋯0x.D-"D=!n.(2)nn-1解:据行列式按行展开定理,将D按第一行展n(2)×!
6、-(1)×",得开,则(!-")Dn=!n+1-"n+1.xy⋯00故0x⋯00!n+1-"n+1Dn=.D=x⋯⋯⋯⋯⋯-!-"n00⋯xy5加边法(升阶法)00⋯0x0y⋯00在运算中可以通过增加一行一列,使行列式在0x⋯00原来的基础上增加一阶,同时保证行列式的值不y⋯⋯⋯⋯⋯=变,从而使行列式的计算变得容易00⋯xy例5.计算n阶行列式y0⋯0x1+a1⋯110y⋯0010x⋯0011+a2⋯11xn-y⋯⋯⋯⋯⋯D=⋯⋯⋯⋯⋯n00⋯xy11⋯1+a1n-1y0⋯0x..11⋯11+an将后面的行列式按第一列展开,则n解:加边,使得nDn=x-yy(-
7、1)×1111⋯1y0⋯00xy⋯0001+a111⋯1⋯⋯⋯⋯⋯=xn+(-1)n+1yn011+a1⋯1200⋯y0Dn=00⋯xy.⋯⋯⋯⋯⋯⋯0111⋯14递推法0111⋯1+a.n设法找出n阶行列式Dn与低阶行列式的关系将第一行的(-1)倍分别加到其它各行,得2008年王丽霞:N阶行列式的几种常见的计算方法·13·1111⋯1将此行列式拆分为两项得-1a100⋯0200⋯0-10a0⋯02n21xx⋯xDn=111⋯⋯⋯⋯⋯⋯2nD=1xx⋯x--1000⋯0nv222-1000⋯a⋯⋯⋯⋯⋯n.2n(爪型行列式)1xnxn⋯xn从第二列开始,将各列的
8、1/ai(i=1,2,⋯
