n阶行列式的计算方法

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1、N阶行列式的计算方法王宝华(西北师范大学数学与统计学院2011级数学3班)摘要本文对n阶行列式的一些常用计算方法进行总结,说明如何根据行列式的特征选用适当的方法进行求解,并给出一些典型的例题加以说明.关键词n阶行列式;计算方法行列式在数学的许多分支里都有应用,它的计算问题就显得很重要.大多低阶的行列式计算不是太难,但是高阶行列式的计算却不是太好把握.高阶行列式的计算方法已有许多研究成果.一般来说,这些方法在解题过程中大多都是一起综合运用,一道题可以用多种方法求解,只是求解过程的难易程度有所不同,因

2、此应该根据行列式的特征选用适当的方法.本文就对n阶行列式的一些常用计算方法进行一个总结,并给出一些典型的例题加以说明.1定义法对于如下形式或者可以化为此形式的行列式=我们可以选择用n阶行列式的定义来计算.利用行列式的定义=,t=进而求得结果为12=2化三角形法三角形法也是解行列式的一种常用方法,它是根据行列式的性质把要求的行列式化为下三角或者上三角行列式,进而再求解的方法.尤其是箭头形式的行列式,我们一般采用将它化为上三角或下三角形式的行列式更容易计算.下面给出一个例子.计算行列式我们观察上面的行

3、列式,依次从最后一行开始加到第一行,得到新行列式.下面来看个简单的实例例1计算行列式解123按行或列展开法(降阶法)按行按列展开法也就是把n阶行列式化为若干个n-1阶行列式来计算,这样将比直接计算n阶的更容易.D等于它的任意行(列)元素与该行(列)元素各自对应的代数余子式乘积之和.即其中是的代数余子式,是的余子式,其中如一个n阶行列式可以用如下公式=或者来计算.例2计算行列式解将行列式D按第5列展开,得12再按第1列展开上式右端的行列式,得4加边法(升阶法)有时计算行列式时,特意把原行列式加上一行

4、一列,变为n+1阶特殊形式的行列式再进行计算.这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法.当然,加边后必须保持原行列式的值不变,而且要使所得的高一阶行列式较易计算.因此要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.下面给出一个例子加边得到结果如下上面行列式为加边后的行列式,经化简得12上式=5数学归纳法数学归纳法大多用于行列式的证明,一般情况下在计算行列式的值时是先用不完全归纳法猜想出行列式的值,再用数学归纳法给出证明.下面给出一个计算行列式值的例子例3证明下列行列式12证当n=1,2时,有结论显然成立

5、.现在假设结论对小于等于n-1时也成立,即成立.现在将按第一列展开,得问题得证.126递推法计算行列式递推法是计算n阶行列式的一种较实用的方法,是把n阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来,对n阶行列式找出与或与之间的一种依次递推关系,既递推公式,这里我们先给出降阶递推法的思想:若则有.若设的根是和,则于是有若则若则得到依次推下去得到最终结果下面给出一个例子例4证明证明将上面行列式按第一列展开得到如下12由此得到递推公式:由此公式可递推得到问题得证.下面给出一个例题例5(2003年福州大学研究生入

6、学考试试题)对行列式证明:其中证明按第一列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开得其中和是的递推关系式.若按上面的递推关系从阶逐阶往低阶计算,则较复杂.因此可以将其变为或者然后反复用低阶代替高阶,则有12同理得由上面两式子可得7利用范德蒙德行列式计算行列式范德蒙德行列式如下.这种方法我们也称为公式法.因为有些情况下我们可以将一个复杂的行列式加一行一列构造成范德蒙德行列式,使它容易求值.例如下列行列式我们就可以给此行列式加一行一列构成范德蒙德行列式从而便于计算.下面再给出一个例子,计算

7、方式是将原行列式化为范德蒙德行列式再计算.例6计算下列n+1阶行列式12解从第一行到n+1行提出公因子,…从而得到一个转置的n+1阶范德蒙德行列式8拆开法拆开法也叫做分解行列法.一些行列式通过观察我们可以发现它的元素可以写成两数之和的方法,进而把一个行列式分成个相同阶行列式之和,使容易求出行列式的值.下面看一个例子12其中表示只有第j列元素9析因子法析因子法也叫做分离线性因子法,这种方法是把行列式D看成是一些元素为x的多项式,那么我们可以把此行列式看成一个多项式,然后利用行列式的性质经过一些变换,

8、求出所有互素的一次因式,将这些因式的乘积定为.则与只相差一个常数因子.通过比较两者的某些项系数就可以求出c,因此D==.下面给出一个例子例7计算下列行列式解在此,我们可以将上面行列式看作关于x的多项式.我们可以算出和所以有因子,,,.再根据比较可算出.12我们可以对类似情况的行列式进行此种方式的处理.以上就是我总结的计算行列式的一些常用方法.当然除此而外,还有其他的一些方法没有具体列出,如利用方阵与行列式的关系,利用拉普拉斯定理的方法等.有的行列式可以选择几种不同的方法都能计算,有

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