【精品】浅谈行列式计算的几种技巧

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1、浅谈行列式计算的几种技巧专业：数学与应用数^06-1班姓名：麦水清指导老师：李春香摘要:任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况卜•不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。其实，计算行列式并无固定的方法，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算.因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。木文用（1）化三角形法，（2）降阶法，（3）升阶（加边）法，（4）分项（拆开）找递推公式，（5）利

2、用公式det（AB）=det（A）det（B）计算行列式的值,（6）利用公式det（I/t+/lB）=det（I/H+BA）计算行列式的值，（7）利用方阵特征值与行列式的关系七种方法来计算行列式，计算其值。关键词：行列式、元素、降升阶、递推公式引言：关于行列式计算的问题，本文用（1）化三角形法，（2）降阶法，（3）升阶（加边）法，（4）分项（拆开）找递推公式,（5）利用公式det（AB）=det（A）det（B）计算行列式的值,（6）利用公式det（打干人〃）二det仃W+BA）计算行列式的值,（7）利用方阵特

3、征值与行列式的关系七种方法来计算行列式。降阶法、升阶法、分项递推法、公式法等其它方法来变换行列式，再通过我们熟悉的上三角形或下三角形计算其值。下面介绍行列式计算的一些技巧（1）化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。例1:计算行列式123n-277-1通过观察，从第1列开始，每一列与它一列屮有叶1个数是差1的，根据行第n-2列乘以一

4、1加到第列式的性质，先从第n-1列开始乘以一1加到第n列,•(-旷・(-1)n2nT列，一直到第一列乘以一1加到第2列。解：111•…11111…11211•…11-H(i=2,…加100•…0-n311•…1-/11200…-n0■■••■■■•■■件=4•■•■••■•••■n•-n■1•…•1■1■n-■-n•0…•0•01n0•…0000…0-n10•…0-n20•…000…-n0-n1n(n+1)■■■■■■■■■■■■■■■■■••■n2■■■■0-n…00n-20•…00-n0…00n--Y

5、I…00(i=2,•••,/?)]1-斤+_qnn("一1)(〃一2)7（2）降阶法A、利用行（列）初等变换。1）交换两行2）某行（列）乘以k倍;B、某行（列）的k倍加到另一行（列）上去。C、逐行相减（加）D、找递推公式，注意对称性。看行和（列和），如行和相等，则均可加到某列上去，然后提出一数。X-10…00X-1…0An=0•••0•••X•••…0•••••000…Xai心_2…a2解：按第一列展开，得X-10•••000X-1•••00Am=x••••••••••••••••••000•••X-1an-

6、an-2%3••♦Clox+a}E、Laplace展开。例2：利用降阶法计算n阶行列式E、Laplace展开。例2：利用降阶法计算n阶行列式000•••-I-10…00X—1…00（T）%0X…00•••0••••••0…•••X•••-1这里的第一个n-l阶行列式与△”有相同的形式，把它记作第二个口-1阶行列式等于（T）"J所以△广这个式子对于任何nQ2）都成立，因此有A”二xA”」+an=x（xAZI_2+a心）+j=x2A„_2+a心x+a”二x△]+a2x"J+・・・+an[x+a”但A

7、二x+a〕=x

8、+a

9、,所以A“二x"+a]X"T+・・・+aZI把行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算，是一个常用的方法。我们再用这个方法来计算一个常要用到的行列式。例3：计算一个n阶范德蒙德(Vandermonde)彳亍列式a{a2ana22Dn二a2，l]解：由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以o,得111•…10色—q色—q…q厂q0色（$-4）。3（色一。

10、）…毎G-厲）••・0■■■■■■■■■a^2($-q)ci^~2(色-q)…•••D”若在一个n阶行列式中，第i行（或第j列）的元素除叫

11、•外都是零，那么这个行列式等于叫•与它的代数余子式鶴•的乘积，所以色—q®—q…an~a色(色―q)色他—q)…an(an&"（色一q）&"（色一q）…q严©厂匕』提出每一列的公因子后，得D”二(a2-at)(a3-a,)…(a“_a])11•••1a2•••22•••%••••••••••••n-2fi-2n-2Cl2°3•••an最后的因子是一个叶1阶的范德蒙德行列式，我们用％」