浅谈行列式的计算

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1、浅谈行列式的计算【摘要】行列式是整个线性代数的基础，是求解线性方程组，求逆矩阵以及矩阵特征值的基础，但行列式的计算方法很多、综合性强、通常都是用性质、展开式等方法进行计算的，在进行四阶以上的行列式的计算时，这些方法过于繁琐。本文通过研究了几种特殊的计算方法，以此简化行列式的计算。【关键词】行列式；计算方法；行列式的性质；范德蒙行列式；三角形行列式法行列式的计算是线性代数的一个基本内容，它在求解线性方程组，逆矩阵，矩阵的特征值中占有很重要的地位，由于计算的技巧性较强，学生很难掌握，这一直是学生头疼的地方。本文就结合自己在线性代数教学实践的基础上对

2、行列式的计算方法进行概括和提炼。下面首先从行列式的定义和性质入手，然后针对每个行列式的特点，给出相对应的具体的解题方法。一、相关定义及英行列式的性质：定义:1•二阶行列式2.三阶行列式3・n阶行列式行列式性质:性质1将行列式转置，行列式的值不变，即。性质2交换两行或者两列，行列式的值变号。性质3用数k乘某行或者某列，等于以数k乘此行列式。推论1如果行列式某行或者某列所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面。推论2如果行列式有两行或有两列的对应元素成比例，则此行列式的值等于0。性质4若将行列式的某一行或者列的每一个元素都可以写成两个数的和，则

3、此行列式就可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行或者列对应位置的元素，其它位置的元素与行列式相同。性质5将行列式的某一行或者列得所有元索同乘以数k后加于另一行或者列对应位置的元素上，行列式的值不变。二、行列式计算方法举例关于行列式计算的问题，本文用特殊行列式法（定义法，化三角行列式，爪形行列式，范德蒙行列式），降阶法，升阶（加边）法，分项（拆开），递推公式法，计算行列式的值的五种方法来计算行列式。下面一一介绍行列式计算的一些技巧：1•特殊行列式法（1）定义法（2）三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式，化三角

4、形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法，这是计算行列式的基本方法重要方法之一。此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式化为三角形，所谓三角形行列式是位于对角线i侧的所冇元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三和行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的阶三角形行列式等于次对角线上元素Z积且带符号。（4）范德蒙行列式法根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质一如：提取公因式;互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；把所求行列式化成已知的或简单的形式，范徳蒙行列式就是其中一种

5、，这种变形法是计算行列式最常用的方法。2.加边法6.递推公式法用此方法•泄要看行列式是否具冇较低阶的相同结构，如果没冇的话，很难找出递推公式，就不能用此方法。由此题可知，若计算复杂的行列式的时候，首先观察行列式的特点，如果具备如此题行列式的元素成平行的时候，就可以选择用递推公式法计算行列式的值。7.数学归纳法所以猜想成立。以上是计算行列式的儿种方法，在计算之前，我们首先应该观察题目给的行列式有哪些特点，然后考虑能否利用这些特点采取相对应的方法以达到简化计算的目的。在计算行列式值时应该按照下列原则进行：（1）低阶行列式的计算常根据行或者列元素的特

6、点，或者化为上下三角行列式计算或者根据行列式展开定理使用降阶法求解；（2）N阶行列式的计算可使用定义或行列式的各种计算方法求解；（3）所求行列式若某行或者某列至多冇两个非零元素，则•般按此行或者按此列直接展开求解。总之,计算行列式的方法很多,技巧性强，在学习的过程中要多观察,多小结归纳，多做练习题，以便熟练且准确的计算行列式的值。参考文献：[1]牛兴文•高等代数与解析几何[M]•化学工业岀版社，2005.[2]许甫华，张贤科•高等代数解题方法[M]•清华大学出版社，2001.[3]魏战•线性代数辅导与典型题解析[M].西安交通人学出版社，200

7、2.[4]北京大学数学系几何与代数教研室编•高等代数[M].北京：高等教育岀版社，2003.03第三版.[5]张禾瑞，郝炳新编•高等代数[M].北京：高等教育出版社，1983.07第三版.[6]方文波主编•线性代数及其应用[M]・北京：高等教育出版社，2011.02.