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1、浅谈行列式的计算宜春学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业罗霖指导老师：何艳玲摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键词:行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征值；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法Abstract:Determinantisanbasicandimportantsubjectinadvanced
2、algebra,itisveryusefulinmathematic.Itisveryimportanttoknowhowtocalculatedeterminant.Thepaperfirstintroducedthebasicnatureofdeterminant,thenintroducedsomemethods,Finally,withtheotherdeterminantofknowledgeonthelinksinseveralotherways.,throughthisseriesofmethodswillfutherenhanceourund
3、erstandingothedeterminationourlearningwillbringveryusefulhelp・Keywords:determinant;Vandermondedeterminant;Matrix;Thecharacteristicvalue;Laplacetheorem;Factorialmethod;Auxiliarydeterminantmethod1前言行列式在高等代数课程屮的重要性以及在考研屮的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的计算方法进行总结归纳。我们可以这样來理解行列式，它是在实数（复数）的
4、基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式（上三角或卜三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想，这也是化三角形法的思想精髓；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以川比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如:加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍牛出的具体方法。作为特殊的行列
5、式当然也有具它方法，如用范徳蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些具它的方法，这将在文屮一一讨论。2行列式的计算2.1化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基木方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式祁可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是
6、先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。例1计算行列式的值:3•…n-4•…n15・・・122•…n-2n-每一列与它一列屮有n・l个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n・l列开始乘以・1第n・2列乘以・1加到第n・l列，一宜到第一列乘以・1加到第二列。然示把第1行乘以・1再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。分析:显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第一列开始；加到第n列，加到各行去，111•…111]11•…11211…11一〃I00…0一“(/=2,・・・,“)311…-n1
7、2()0…-n0■■••■••■:，人:■■■■■•■•■n•1-H•1…■1仁■-n■0•…•0001+・・・+n(j=2,・・・,n)]1-r+—rnIJn1n(n+)n20-n-n0n-2〃一11n(n+)n2(”+l)肿7仲—―n(T)2•（一旷・（一1）0•…-z?•…(rt-IR/j-2)-n解：2.2按行（列）展开法（降阶法）设D=
8、^
9、为/?阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有Dn+必2+…+3>A（心1,厶7）或D”=%AU+%Ay+…+%為仃=1,2,…,“）其中A,为Dn中的元素角•的代数余子式按行（列）展开法可以将一个n阶行
10、列式化为n个ml阶行列式计算。若继续使用按行（列）展
