8浅谈行列式的计算正文.docx

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1、浅谈行列式的计算宜春学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业罗霖指导老师：何艳玲摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键词:行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征值；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法Abstract:Determinantisanbasicandimpo

2、rtantsubjectinadvancedalgebra,itisveryusefulinmathematic.Itisveryimportanttoknowhowtocalculatedeterminant.Thepaperfirstintroducedthebasicnatureofdeterminant,thenintroducedsomemethods,Finally,withtheotherdeterminantofknowledgeonthelinksinseveralotherways.,throu

3、ghthisseriesofmethodswillfutherenhanceourunderstandingothedeterminat,onourlearningwillbringveryusefulhelp.Keywords:determinant;Vandermondedeterminant;Matrix;Thecharacteristicvalue;Laplacetheorem;Factorialmethod;Auxiliarydeterminantmethod1前言行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研

4、中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的计算方法进行总结归纳。我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想，这也是化三角形法的思想精髓；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内

5、部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法，这将在文中一一讨论。2行列式的计算2.1化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利

6、用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例1计算行列式的值：分析:显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第一列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第

7、n-1列，一直到第一列乘以-1加到第二列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解:2.2按行（列）展开法（降阶法）设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有或其中为中的元素的代数余子式按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行

8、（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。例2计算20阶行列式：分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*(20－1)次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到