固体物理03-倒格子空间.pdf

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1、1.6倒格子空间•由于晶格的周期性，晶格中的任意一点x与点x+la+la+la（即晶格112233作周期平移后）等价•晶格中的物理量也具有周期性：大大简化了研究晶体性质的困难如晶体中的静电势是晶格矢的周期函数V(x)V(xlalala)112233可以把物理量（如静电势等）在动量空间作傅里叶级数展开实空间（正空间）动量空间（倒空间）i(krt)波函数~e实空间（正空间）动量空间（倒空间）rk时间能量t倒格子基矢aa23b21aaa123aa31b22aaa123aa12b23

2、aaa123以b,b,b为基矢构成一个倒格子，到格子中每个格点的位置为123Gnbnbnbn1,n2,n3112233以b,b,b为基矢构成一个倒格子，倒格子中每个格点的位置为123Gnbnbnbn1,n2,n3112233Gn1,n2,n3为倒格子矢量，简称倒格矢。1.倒格子基矢与正格子基矢的关系：ab2ijij倒格基矢的量纲是[长度]-1，与波数有相同的量纲。2.两个点阵的格矢之积是2π的整数倍GR2mhnhbhbhbnanana1122331122332(hnhnhn)11

3、22333.两个点阵原胞体积之间的关系3*2bbb实空间越大，倒空间越小1234.倒格矢G垂直于密勒指数为(h,h,h)的晶面h1,h2,h31235.正格子与倒格子互易bb23a2作业：证明左式1bbb123利用公式A(BC)BACCAB实空间的物理量V(x)具有周期性V(x)V(xRn)作傅里叶变换iGhxV(x)Vh1,h2,h3eGhh1b1h2b2h3b3h1,h2,h31iGxVdxV(x)eh其中：h1,h2,h3易证V(x)V(x

4、R)n因为Gh(xRn)Ghx2m总结:晶体结构是一个具有晶格周期性的物理量，倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。正格子的量纲是长度L,称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。实空间点阵倒空间点阵简立方简立方222aai,aaj,

5、aakbi,bj,bk123123aaa2a2a2a四方晶格简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。六角点阵正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵作业：证明上述两个结论！布里渊区布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布里渊区。最靠近原点的平面所围成的区域称作第

6、一布里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类推。第一布里渊区第一布里渊区(Wigner–Seitz原胞)高阶布里渊区布里渊区中的对称线与对称点简立方晶格的第一布里渊区体心立方晶格的第一布里渊区（正菱形12面体）面心立方晶格的第一布里渊区1.7晶体结构的实验研究1.晶体X射线衍射历史1895年伦琴发现X射线（1901年Nobel奖）1912年劳厄(Laue)发现X射线晶体衍射（1914年Nobel奖）1913年布拉格（Bragg）父子测定晶体结构（1915年Nobel奖）2.晶体衍射的几何理论：1.B

7、ragg方程Bragg把晶体对X光的衍射当作由原子平面的反射，在反射方向上，一个平面内所有原子的散射波位相相同、相互叠加，当不同原子平面间的辐射波符合Bragg关系时，散射波在反射方向得到加强2dsinn要求2dBragg定律的解释：Bragg假定每个晶面都像镀了一层薄银的镜子一样，只对入射波反射很小的一部分。只有在某些θ值，来自所有平行晶面的反射才会同相位地增加，产生一个强的反射束。实际上，每个晶面只能反射入射辐射的10-3－10-5部分，因而对于一个理想晶体，会有来自103－105个晶面的原子对形成Bragg反射束有贡献

8、。（对X射线而言）发生衍射的Bragg条件清楚地反映了衍射方向与晶体结构之间的关系。但衍射的实质是晶体中各原子散射波之间相互干涉的结果，只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面对入射波的反射，才得以使用Bragg条件，不能因