固体物理第一章晶体结构-倒格子（reciprocallattice）

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1、§1.7倒格子（Reciprocallattice）倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点阵是真实空间中的点阵；倒易点阵是傅立叶空间中的点阵。如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变换

2、到波矢空间是由于研究周期性结构中波动过程的需要。根据原胞基矢定义三个新的矢量——倒格子基矢量以为基矢构成一个倒格子倒格子基矢的性质表明倒易点阵任一基矢和晶体点阵中的两基矢正交。倒格子每个格点的位置——倒格子矢量（n1n2n3为整数），具有以上形式的矢量称为倒易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢量所联系的诸点的列阵。原胞里任一点傅里叶级数宗量晶格周期性函数为整数——倒格子空间是正格子的倒易空间——周期性函数可以展开为傅里叶级数由倒格子基矢得到代入——积分在一个原胞中进行得到傅

3、氏级数中的波矢就是这里定义的倒易点阵矢量，故倒易点阵也就是由矢量所联系的诸点的列阵，只要函数有平移不变性，就可以用倒易点阵矢量展成傅氏级数，或者说，一个函数如果具有晶体点阵周期性，它的傅氏级数中的波矢只能是倒易点阵矢量。倒易点阵基矢由晶体点阵基矢定义，一个晶体点阵的倒易点阵是唯一的，尽管晶体点阵基矢有不同取法，倒易点阵基矢也不至一组，但一种晶体点阵只有唯一的一种倒易点阵与之对应。——倒格子与正格子间的关系1)正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积2）正格子中一簇晶面和正交——可以证明与晶面族正交晶面方程3）倒格子

4、矢量为晶面的法线方向各晶面到原点的距离面间距上面的结果表明了晶体点阵中的一组晶面可用倒易点阵中的一个阵点来表示(∵定义了倒易点阵中的一个阵点,也就是说这组平面的法线与面间距均可用来表示，这组晶面就是唯一确定了)。知道了的方向，晶面组的法线就确定，并且面间距也确定了，一个晶面组反映在倒易点阵中是一个阵点，就是以面指数为指数的倒易矢量:4）以倒易点阵矢量为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性质以为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性,既平移后平面波不变（1)点阵常数为a的简单立方点阵简单立方点阵的基矢为:初基晶胞体积:

5、倒易点阵的基矢为:同理∴sc点阵的倒易点阵仍为sc点阵,点阵常数为倒易点阵矢量4)点阵常数为a的体心立方点阵正点阵的初基矢量为：初基晶胞体积倒易点阵的基矢：这组基矢决定了的是一个面心立方（fcc）点阵，点阵常数为：(5).点阵常数为a的面心立方点阵面心立方点阵的基矢为:初基晶胞体积:倒易点阵基矢:同理这与体心立方点阵的初基矢量形式相同,因此面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵,点阵常数为在14种布拉菲点阵中，只有四种点阵的正点阵与倒易点阵不同，这四种点阵是：体心立方→面心立方面心立方→体心立方体心正交→面

6、心正交面心正交→体心正交其他的点阵、正点阵与倒易点阵的对称操作相同，点对称性不变，倒易点阵的类型与正点阵相同。