固体物理第二章第四节倒格子.ppt

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1、第四节倒格子本节主要内容:一、概念的引入三、倒格矢与晶面二、倒格子是倒易空间的布拉维格子四、倒格子的点群对称性§2.4倒格子一、概念的引入晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？布拉维格子具有平移对称性

2、,因而相应的只与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：布拉维格矢由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：展开系数1.周期函数的傅里叶展开展开系数原胞体积因为：所以：令则：则不合要求，应舍去所以由于与存在上述对应关系,可以描述布拉维格子,自然也可以描述同样的布拉维格子,且与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因而,凡是波矢和布拉维格矢满足的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子的由来.成立也就是说,一定存

3、在某些使得当成立时2.定义对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocallattice)与倒格子的定义对应，由格矢的端点所描述的布拉维格子，称为正格子(directlattice)由端点的集合所描述的布拉维格子，称为倒格子(reciprocallattice)称为倒格矢利用倒格矢，满足的傅里叶展开为:意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。二、倒格子是倒易空间的布拉维格子将代入得：欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要求：h1,h2,h3

4、为整数对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocallattice).称为倒格矢显然,如果令h1,h2,h3为整数当满足时，则下式自然成立：可知亦应该不共面，从而可以用描述倒格子。由于为基矢，互不共面，则由或：由于为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocalspace),则由于不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。和对比,表明对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。从而且也可作为以为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。讨论：由可知：垂直,因

5、此，和与平行所以可令：两边同时点乘原胞的体积1.其中是正格基矢是固体物理学原胞体积同理可得所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：与所联系的各点的列阵即为倒格子。许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义a.晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍射的电磁波以及电子在晶体中运动的几率波等，它们的状态均用波矢来表征，其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内，一般限制在简约布里渊区中(单值性的要求)2.与正格子空间的平面波类似，可以把看成倒空间的平面波，是倒空间的任一矢量所以，在倒空间中，矢量与代表相同的波或相同的状态。注：b.倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区，也就是所谓的简

6、约布里渊区3.由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。三、倒格矢与晶面(倒格子与正格子的几何关系)1.体积关系(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积)除因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积互为倒数利用=02.倒格矢与晶面倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：其中是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距首先我们证明倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面ABC在基矢上的截距分别为。由图可知：BCOA所以倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交接着我们再证明倒格矢长度为由于

7、倒格矢与晶面族(h1h2h3)正交.因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为BCOA则法线方向的单位矢量为：因而，面间距这个关系很重要,后面分析XRD时要用表明,对任一倒格矢以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征的正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以为法线方向，且面间距为3.倒格子基矢的方向和长度一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。设：是所在晶面族的面间距；是所在晶面族的面间距；是所在晶面族的面间距。利用体积=底面积*高，则有：晶体结构正格子倒格子2.与晶