第4讲倒格子.pdf

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1、第四讲：倒格子倒格子由于晶格具有周期性，晶格中x点和x+l1a1+l2a2+l3a3点的情况完全相同，它们表示两个原胞中相对应的点。如V(x)表示x点某一个物理量，例如静电势能，电子云密度等，则有V(x)＝V(x+l1a1+l2a2+l3a3)(1−4)V(x)是以a1,a2,a3为周期的三维周期函数。引入倒格子以后，可以方便地把上述三维周期函数展开成傅立叶级数。根据基矢定义三个新的矢量×2π[aa23]b=1Ω2π[]aa31×b2=(1−5)Ω2π[]aa12×b=3Ω称为倒格子基矢量。正如以a1,a2,a3为基矢可以构成布拉伐格子一

2、样，以b1,b2,b3为基矢也可以构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置为Gbnnn123,,=nnn11+22b+33b,其中n1,n2,n3为一组整数。称G为倒格子矢量。nnn123,,倒格子基矢的基本性质由倒格子基矢的定义(1-5)式很容易验证有下列基本性质2π(i=j)abij⋅=2,πδij=()ij=1,2,3(1−6)0()ij≠−1也有人把(1−6)式作为倒格子基矢的定义。倒格子具有[长度]的量纲，与波矢具有相同的量纲。例题4.1计算二维正方的倒格子基矢。解答1：设a3为垂直于二维平面的第三个方向的单位矢量，则二维正方格子的原胞基矢加上

3、a3为ai=a1aj=a2ak=3设倒格子基矢为：b11=()bbb1,,1213b22=()bbb1,,2223b33=()bbb1,,3233应用×2π[aa23]b=1Ω2π[]aa31×b=2Ω2π[]aa12×b=3Ω解得22b1=()2,πa0,0b2=()2,πa0,0b3=()0,0,2π即=b1()2,πa0b2=()0,2πa解答2：二维正方格子的原胞和倒格子原胞基矢为==ai1aa(),0=b11()bb1,12aj2==aa()0,b22=()bb1,22

4、应用2π()i=jab⋅=2πδ=ijij0()ij≠解得=b1()2,πa0b2=()0,2πa周期性物理量的傅立叶级数若把晶格中的任意一点x用矢量表示xaaa=++ξξξ(1−7)112233则一个具有晶格周期性的函数V(x)＝V(x+l1a1+l2a2+l3a3)(1−8)可以看成是以ξ1,ξ2,ξ3为宗量，周期为1的周期函数，因此可以写成傅立叶级数VV()ξξξ,,=∑e2πξξξih(11++h22h33)(1−9)123hhh123,,hhh123,,h1,h2,h3为整数。其中系数111Vd=ξξξdde−2πξξξih()1

5、1++h22h33V()ξ,,ξξ(1−10)hhh123,,∫∫∫000123123根据倒格子基矢的定义，ξ1,ξ2,ξ3可以简便地用倒格子基矢写出111ξξξ=⋅=⋅=⋅bx,bx,bx(1−11)112233222πππ代入(1−9)式，傅立叶级数可以直接用x表示出来，即VV()x=∑e2πih(11b+b+bxh22h33)⋅(1−12)hhh123,,hhh123,,系数V也可以相应地写成hhh123,,12πih()11b+b+bxh22h33⋅∫dexxV()(1−13)aaa⋅×123积分为在一个原胞内的体积分。傅立叶级数中指数上的各矢量23h

6、hhhbbb++,,,hh＝整数112233123就是倒格矢。正格子和倒格子的关系(1)正格子中的一族晶面(h1h2h3)和倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3正交。(2)倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3的长度正比于晶面族(h1h2h3)面间距dh1h2h3的倒数：2πdhhh=(4.1)123Kh(3)正格子原胞体积Ω和倒格子原胞体积Ω*的关系。()3∗2πΩ=b1⋅[]b2×b3=(4.2)Ω证明如下：(1)a3晶面族(h1h2h3)中最靠近原点的晶面ABC在基矢a3/h3Kha1,a2,a3上的截距为a1/h1,a2/h2,a3/h3,如图所

7、示:CBa2/h2a2CA=OA-OC=aa1133//h−hOa1CB=OB-OC=aa2233//h−ha1/h1ACA和CB都在ABC面上，因此只要证明：K⋅=CA0和K⋅CB=0hh则Kh必定和晶面族(h1h2h3)正交。因为ai⋅bj=2πδij，因此：Kbh⋅=++⋅CA()h11h22bh33b(a1//0h1−a3h3)=Kbh⋅=++⋅CB()h11h22bh33b()a2//0h2−a3h3=a1Kha1()h1b1+h2b2+h3b32π(2)dhhh=⋅==123hKhKK1h1hh布里渊区布里渊区在固体物理中，各种波的衍射条件是由布里

8、渊区决定的。它是电子能带理论和表示晶体