第4讲、倒格子和晶体的对称性.ppt

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1、第四讲、倒格子和晶体的对称性第一章晶体结构一、倒格子二、正交变换、对称素三、周期性对对称性的影响四、基本的点对称操作1一、倒格子——晶格具有周期性，一些物理量具有周期性势能函数势能函数是以为周期的三维周期函数此外，格点密度、质量密度、电子云密度等都是周期函数。2晶体中任一处的物理量，具有周期性，今可写为：将展开成傅立叶级数：原胞体积于是3令则有于是有：不能为零4定义：对于Bravais晶格中所有格矢，满足或的全部端点的集合构成的新格子，称为正格子(Directlattice)的倒格子(Reciprocallattice)。m是整数于是：5根据原胞基矢定义三个新的矢量——倒格子基矢量以为基矢构成

2、一个倒格子倒格子每个格点的位置——倒格子矢量(倒格矢)倒格子基矢的性质6所以：因为：——倒格子空间是正格子的倒易空间。7——倒格子与正格子间的关系1)倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积82）正格子中一簇晶面和正交——可以证明与晶面族正交93）倒格子矢量为晶面的法线方向晶面方程各晶面到原点的距离面间距即：10对于每一簇晶面都有一点P，以OP为该方向的周期，把P平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子，而把原来的晶格称为正格子。——倒格子的物理意义布里渊区：倒格子空间中的WS原胞称为布里渊区(BrillouinZone)原点O引晶面簇ABC的法线ON在法线上截取一段ρ=OP，使ρd

3、=2πd是晶面簇ABC的面间距11二、正交变换首先讨论以宏观的角度如何描写一个几何图形的对称性。第一章晶体结构要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法。例：比较以下图形的对称性。(a)(b)(c)(d)12为比较图形的对称性，规定：在作几何变换时，图形中有一点固定不动。(a)ABCD一个对称轴，旋转π角度。一种几何变换。(b)(1)(2)(3)(1)旋转π角度（2）旋转π角度(3)旋转π/2、π、3π/2角度五种几何变换。(c)无穷多种变换。(d)无几何变换可见，几何变换越多，对称性越高。第一章晶体结构13对称操作——物体在一定几何变换下不变，称这个变换为物体的对称操作。对于晶格点阵

4、而言，对称操作即为操作前后点阵不变。正交变换——在几何变换中若任意两点间的距离不变，称这种变换为正交变换。在数学上可用正交矩阵表示。第一章晶体结构14一般几何变换可用矩阵表示。一矢量在oxy平面旋转θ角度，得到矢量例：第一章晶体结构xyoθ与的关系为旋转θ角度可表示为矩阵15正交矩阵的性质即第一章晶体结构16几种简单操作的变换矩阵：(1)、绕Z轴转动(2)、中心反映第一章晶体结构17(3)、镜像反映(对称面为oxy平面)第一章晶体结构18几个三维的实例1)绕三个立方轴转动：π/2，π，3π/2，共有9个对称操作2)绕6条面对角线轴转动π，共有6个对称操作1、立方体的对称操作第一章晶体结构193

5、)绕4个立方体对角线轴转动2π/3，4π/3，共有8个对称操作4)正交变换也是一个对称操作；第一章晶体结构5)以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作——立方体的对称操作共有48个202、正四面体的对称操作1)、绕三个立方轴转动π，共有3个对称操作；2)、绕4个立方体对角线轴转2π/3,4π/3，共有8个对称操作；3)、正交变换也是一个对称操作；4)、绕三个立方轴转动：π/2，3π/2，加上中心反演，共有6个对称操作；5)、绕6条面对角线轴转动π，加上中心反演，共有6个对称操作；因此正四面体的对称操作共有24个。四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。第一

6、章晶体结构213、正六面柱(六角晶体)的对称操作1)绕中心轴线转动——5个第一章晶体结构——3个——3个2)绕对棱中点连线转动3)绕相对面中心连线转动4)正交变换5)以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作——正六面柱的对称操作有24个——1个22“对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性“对称素”——一个物体的旋转轴、旋转－反演轴*对称素第一章晶体结构一个物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时——该轴为物体n重旋转－反演轴，计为一个物体绕某一个转轴转动，以及其倍数不变时——该轴为物体n重旋转轴，计为23立方体第一章晶体结构立方轴为4重轴，计为4同时也是4重

7、旋转－反演轴，计为面对角线为2重轴，计为2同时也是2重旋转－反演轴，计为体对角线轴为3重轴，计为3同时也是3重旋转－反演轴，计为24正四面体体对角线轴是3重轴——不是3重旋转－反演轴立方轴是4重旋转－反演轴——不是4重轴面对角线是2重旋转－反演轴——不是2重轴第一章晶体结构25第一章晶体结构对称素的含义——先绕轴转动，再作中心反演A''点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称