2 晶体衍射和倒格子

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1、AN固体物理电子1201电子1202电子12032013-2014年度第二学期光学与电子信息学院郑志平AN目录AN1晶体结构2晶体衍射3晶体结合4声子Ⅰ5声子Ⅱ6自由电子费米气7能带论AN2AN2晶体衍射CrystalDiffraction本章内容提要2.1倒格子2.2晶体衍射232.3结构因子和形状因子2014‐05‐2832.1倒格子ReciprocalLattice研究X射线衍射过程倒格子概念的引入处理周期性结构中的波动过程2014‐05‐2842.1倒格子ReciprocalLattice1.倒格子定义（1）一维晶格：考察晶格的局域物理量如原子的电子密度n(x)：a0xx

2、+a由晶格的周期性：n(x)n(xa)n(xT)将周期函数展开平移矢量：TmamZ为傅立叶级数n(x)n0[Cpcos2px/aSpsin2px/a]pn(x)nexp(i2px/a)nexp(ikx)2()p(i2/)p(ik)kpppa2014‐05‐2852.1倒格子ReciprocalLattice2构成倒格点：kpGp(p0,1,)倒格点集合倒格子a02442aaaa正格子与倒格子都是描述晶体的周期性的n(x)nexp(i2px/a)pp1a取复共轭npdxn(x)exp(i2px/a)

3、a0**n(x)nexp(i2px/a)pp*n(x)npexp(i2px/a)nnpppn(x)*n(x)由：实函数2014‐05‐2862.1倒格子ReciprocalLattice（2）三维晶格：n(r)n(rT)将周期函数展开Tuauaua112233为傅立叶级数n(r)nGexp(iGr)G1nGn(r)exp(iGr)drVcellcG是n(r)在倒空间的映像，满足傅立叶变换的关系一个具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述与在倒格子中的表述之间满足傅立叶变换的关系2014‐05‐287

4、2.1倒格子ReciprocalLattice找到一组矢量G，使得n(r)n(r)nGexp(iGr)G在T作用下周期性不变n(r)的周期性要求：GT2mGv1b1v2b2v3b3v1,v2,v3Z令：2,ijaibj0,ij即b1b2b3分别为a1a2a3的倒矢量G与波矢k有相同量纲，属同一空间，G是k空间的特定矢量2014‐05‐2882.1倒格子ReciprocalLattice2,ijaibj0,ijb1正格子基矢：a1a1a2a3a3倒格子基矢：b

5、b2b31a2倒格子：用倒易空间基矢bbb3构造一个倒易晶胞，12晶胞在空间重复即为倒易点阵——倒格子倒格矢：Gv1b1v2b2v3b3(其中vvv为任意整数)123由倒格矢G确定的空间即为倒格子空间bbb倒格子初基原胞体积:1232014‐05‐2892.1倒格子ReciprocalLattice由定义可知：b(aa)b1c(a2a3)123待定系数abca(aa)1111232ca(aa)123ab211aab2231a1(a2a3)aab31

6、取模22a1a2a1(a2a3)b223ba(aa)1123da2a3正、倒基矢有方向上的关系，但属不同的空间NOTE：正、倒基矢量纲不同，不能直接比较大小方向上2014‐05‐28一个倒格基矢与正格子中的一族晶面对应大小上102.1倒格子ReciprocalLattice2.倒格子性质2,ij(1)基矢aibj2πδijaibj0,ij正、倒格子互为倒格子（2）倒格矢G和正格矢T的标积是2的整数倍：GT2πm(mZ)证：GTv1b1v2b2v3b3u1a1u2a2

7、u3a3ab2πδijij思考题：GT2πm•若GT2πm成立，一个为正格矢，则另一个必为倒格矢吗？2014‐05‐28112.1倒格子ReciprocalLattice()(3)正、倒格子原胞大小满足：32222三维S二维a一维Sa证：三维Ωbbb12332πΩa2a3a3a1a1a2Ωabcbaccab322014‐0