微分在隐函数求导中的应用.pdf

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1、第23卷第3期徐州教育学院学报Vo1．23，No．32008年9月J．ofXuzhouEducationCollegeSep．，2008微分在隐函数求导中的应用夏传武(徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州221008)摘要：文章介绍了如何通过“微分”这一手段，来避开隐函数求导中颇令初学者头疼的对自变量与因变量“区别对待”的问题。关键词：微分；隐函数；求导中图分类号：0177．91文献标志码：A文章编号：1008—6625(2008)03—0071—03(+e)+出=01引言再将含的项与含的项分置于等弓两嫡：隐函数的求导问题，一直是困扰初学者的难点，大大小

2、(+e)=一)，出小的考试中，这方面的题目往往也是丢分点。从而解得原因何在?盖因按常规的求导方法，要么需要区分自变二dyv=一—一(1)量与因变量的差异，要么需要构造新的n十1元函数辅助求d+e解．虽然求一阶(偏)导数，可以通过构造n+1元辅助函数这里利用微分求的是一元隐函数的一阶导数，有人可能的方法避开区分自变量、因变量的问题，但对求高阶(偏)导会说：一阶的好办，利用微分能求高阶导数吗?数的问题，传统求法却无论如何不能避免对自变量与因变量答案自然是肯定的。事实上(为简单计，下面(均)以二“区别对待”的问题，而这，恰恰是初学者最难把握的。阶(偏)导数为例加以

3、说明(三阶或三阶以上方法完全一怎样避开这一问题?利用微分!利用一阶(全)微分形式的不变性完全可以避免上述叠床架屋的处理方式．而且处理思路简洁、统一。样)，因为一d‘dy圈样)，因为=一dx(_)．)=固，故只需求出一阶导数二ndxV下面就单方程确定的一元隐函数、方程组确定的一元隐dd函数、单方程确定的多元隐函数、方程组确定的多元隐函数的微分再除以即可。的一阶、二阶(偏)导数几种情形分别加以说明。dv例2就例1给定的隐函数求—÷。2单方程确定的一元隐函数的一阶与二阶导数解据例1知例1教材⋯104页例1Ydv求由方程e+xy—e：0所确定的隐函数的导数÷。dx+

4、ed两边微分分析对一元函数的导数÷，我们还可以将其视为d，，Y、，，、(+e)一(+)d—=d(一——)jd(二)=一二—————_=——_=——dx+ey(+ey)(因)变量的微分与(自)变量的微分出的商，即Il_进而y(+e)dy—ydx—yedy团，dx(+ey)圈。两端同除以得解方程e+xy—e=0两边微分：dc+e，一y一d(e+xy—e)=d(O)jey+ydx+y=0dxd出按、合并“同类项”得(+ey)[收稿13期]2oo8—06—17[作者简介]夏传武(1967一)，男，山东高密人，徐州工程学院讲师，主要研究方向多元统计分析、时间序列分析。

5、·71·(2)再将(1)式代入(2)式的右端整理得，f2ydydd—dx(2+2y-yey)xdydz(x+ey)2y—即d2vY(2x+2y—ye’)解此关于．孕、_dz为“未知量’的“二元线性方程组”得吐OtX(+e)dyx(6z+1)3方程组确定的一元隐函数的一阶与二阶导数㈥例3教材89页习题9—5之10．(1)。设z=x2+y2+3z2=20'求老，生dz。例4就例3中所给的隐函数求!积磐，dzⅡ2：。解对每个方程两端微分并整理得分析只需求得孚积与眦的微分尔后除以即可。f2ydy—dz=一2xdxL2ydy+3zdz=一xdxfd(一业dc去=同除以

6、得rd(老)2y(3z+1)[(6z+1)+6去]一(6z+1)[2(3z+1)老+6ydz]1J一(2y(3抖1))2(4)d(去)(3州)-3dzL一—熔f3、仲人f4中{#罄理得以用来求多元隐函数的一阶偏导数与高阶偏导数．仍通过=毒实例加以说明。4单个方程确定的二元隐函数的一阶偏导数与二阶偏导数例6就例5求窘，。分析t92zO(Oz．=例5教材89页习题9—5之8(稍加变通)。、孤亳：Oy(孤Oz．·，故只需求得尝的设ez—xyz=0，求当，当。全微分即可。dxdy解据例5知2竺分析函数z=，(x,y)可微，必有=。+考‘dY，：Oxe一xy且表达式惟

7、一。两边微分得解方程e一xyz=0两边微分并整理得dc尝=dz：．+．dr(5)e—xye—V从而．72·生xu+yvcguxv-yuOvy~-XP—一一=一—=一——=一——=一d()=．．Ox(e一xv)‘OxX2+y’砂。+y2’OxX2+v’dy(7)It+yV将(5)代人(7)的右端消去dz并整理得+2y2ze：一2xyz—y2zd()=就例7所给的函数，求，。毗从向分析只要求出的微分即可。02y2ze"-2xy3Z2——：——z-y2z2e"鱼：Z—e2：_~Z2—e：-X2y2ZOx(e一)axay(e：一xy)解对：一两边微分得当然，用同样的

8、方法也可以求得寺、孑，这只需要处Ox‘+v‘d：一!