圆轴扭转时的变形和刚度条件.pdf

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1、内蒙古农业大学职业技术学院——材料力学讲义第10讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转基本圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形内容教1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。学2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。目3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。的4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。重本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建点立及相关计算。难本节难点：对圆轴变形程度的理解。点1第十讲§4-6圆轴扭

2、转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10）Tdxdφ=GIp所以lTTlφ=∫dφ=∫dx=（rad）（4-17）l0GIGIpp式中GI称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。GI越大，则扭转角φ越小。ppdφT让ϕ=，为单位长度相对扭角，则有ϕ=（rad/m）dxGIpT扭转的刚度条件：ϕ=≤[]ϕ（rad/m）（4-18）maxGIPT180或ϕ=×≤[]ϕ（°/m）（4-19）maxGIπP例4-3如图4-13的传动轴，n=500r/m

3、in，N=500马力，N=200马力，N=300123马力，已知[]τ=70MPa，[ϕ]=1°/m，G=80GPa。求：确定AB和BC段直径。解：1）计算外力偶矩N1m=7024=7024（N·m）AnN2m=7024=28096.（N·m）BnN3m=7024=42144.（N·m）Cn作扭矩T图，如图4-13b所示。2）计算直径dAB段：由强度条件，2内蒙古农业大学职业技术学院——材料力学讲义T16Tτ==≤[]τmax3Wtπd116T16×7024d≥3=3≈80（mm）1[]6πτπ×70×

4、10由刚度条件oT180ϕ=×≤[]ϕ4πdπ1G3232T×18032×7024×180d≥4=4=846.（mm）1292Gπ[ϕ]80×10×π×1取d=846.mm1BC段：同理，由扭转强度条件得d≥67mm2由扭转刚度条件得d≥745.mm2取d=745.mm2例4-4如图4-14所示等直圆杆，已知m=10KN·m，试绘扭矩图。0解：设两端约束扭转力偶为m，mAB（1）由静力平衡方程∑m=0得xm−m+m−m=0A00Bm=m（a）AB此题属于一次超静定。（2）由变形协调方程（可解除B端约束）

5、，用变形叠加法有3第十讲φ=φ−φ+φ=0（b）BB1B2B3（3）物理方程−m⋅a+m⋅2a−m⋅3a00Bφ=，φ=，φ=（c）B1GIB2GIB3GIppp由式（c），（b）得m⋅am⋅2am⋅3a00B−+−=0GIGIGIppp即−m+2m−3m=000B并考虑到（a），结果m0m=m=AB3假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示。§4-7圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算o螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角α<5时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的

6、应力如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面Q4Pτ1上剪力由Q引起的剪应力τ==，而且认为均匀分布于横截面上（图4-15c）；若将12AπdT16T8PD簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由T引起的最大剪应力（图4-15d）τ===2331WtπdπdQ=P，扭矩T=PD。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。24内蒙古农业大学职业技术学院——材料力学讲义所以在簧丝横截面内侧A点有8PD⎛d⎞8PDτ=τ+τ=⎜1+⎟=k（4-20）max1233πd⎝2D⎠πdd其

7、中k=1+（4-21）2D当d<1，略去剪应力τ所引起的误差τ<500，可用近似式D1018PDτ=（4-22）max3πd对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，d的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要D考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是τ≤[τ]（4-23）max式中：[τ]—弹簧丝材料的许用剪应力2.弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为λ，这是弹簧的1整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力

8、对弹簧做功W=Pλ。簧丝横截面上，距圆2心为ρ的任意点的扭转剪应力为5第十讲1PDρTρ216PDρτ===（a）ρ44IπdπdP32如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是2222τρ128PDρu==（b）282GGπd弹簧的变形能应为U=∫udV（c）V此处dV=dA⋅ds，其中dA=2πρ⋅dρ，弹簧丝总长为S=πD⋅n，n为弹簧有效圈数。于是积分式（c）得d128P2D2ρ24P2D3n2U=πDn⋅2πρdρ=（d）∫0