第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

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1、基础篇之四第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。4－1外加扭力矩、扭矩与扭矩图作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：P[kw]M=⋅9549[Nm]en[]r/m

2、in其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。如功率P单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则P[]马力M=7024[Nm]⋅en[r/min]外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。图4－1受扭转的圆轴用假想截面m－m将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有Mx－Me=0由此得到1

3、Mx=Me与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b和c中的同一横截面上的扭矩均为正。当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。【例题4－1】变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a所示。试

4、画出扭矩图。图4－2例题4－1图解：用假想截面从AB段任一位置（坐标为x）处截开，由左段平衡得：−Mx=－2Me0≥≥xl因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。同样，从BC段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC段的扭矩：+Mx=+3Melxl≥≥2因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。建立OMxx坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b所示。从扭矩图可以看出，在B截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B

5、截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。4－2剪应力互等定理剪切胡克定律4－2－1剪应力互等定理考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘图4－3剪应力互等后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡2这两个力偶的力偶矩必须大小相等、方向相反。于是，根据微元的平衡条件有：∑My=−0,(dd)d(dd)dττzx′

6、xzy=0由此解得：τ=τ(4－1)xyyx这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairingprincipleofshearstresses）。微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯剪切应力状态（stressstateofthepureshear），简称纯剪应力状态。4－2－2剪切胡克定律通过扭转试验，可以得到剪应力τ与剪应变γ之间的关系曲线

7、（图4－4）。图4－4剪应力与剪应变曲线τ－γ曲线的直线段表明，剪应力与剪应变成正比，直线段剪应力的最高限称为剪应力比例极限，用τp表示。直线段的剪应力与剪应变关系为：τ=Gr(4－2)这一关系称为剪切胡克定律(Hookelaw),其中G为材料的弹性常数，称为剪切弹性模量或剪切弹性模量（shearmodulus）。因为γ为无量纲量，故G的量纲和单位与τ相同。在第3章曾提到各向同性材料的两个弹性常数－杨氏模量E与泊松比v，可以证明E、v与G之间存在以下关系：EG=(4－3)2(1+v)这表明，对于

8、各向同性材料，三个弹性常数中只有两个是独立的。4－3圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度计算应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量⎯扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截3面上的剪应力是怎样分布的。研究圆轴扭转时横截面上剪应力的分布规律，需要考察扭转变形，首先得到剪应变的分布；然后应用剪切胡克定律，即可得到剪应力在截面上的分布规律；最后，利用静力方程可建立扭矩与剪应力的关系，从而得到确定横截面上各点剪应力表达式。这是分析