一种新的病态问题奇异值修正方案及其在大地测量中的应用.pdf

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1、8’"第!"卷第#期$%%"年#月!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!一种新的病态问题奇异值修正方案及其在大地测量中的应用!王振杰!，"欧吉坤!!#中国科学院测量与地球物理研究所，武汉$%&&’’；"#山东理工大学建筑工程学院，淄博"((&!"摘要根据观测方程设计矩阵奇异值的分布特点，将病态问题分为具有均匀下降型奇异值和阶梯型奇异值两种类型#针对均匀下降型奇异值提出了一种新的奇异值修正方案，其核心是将奇异值分成两部分分别修正#这种方案兼顾了解的分辨率与方差之间的折中，是一种

2、更加合理的奇异值修正方案#经过实例验证，当法矩阵的条件数小于!&!&时，这种方案是非常有效的，与其他方法相比较，显著地提高了计算结果的精度#关键词病态问题奇异值分解奇异值修正分辨率方差大地测量中的病态问题是广泛存在的，例如某年来，地球物理学者对病态问题的研究比较深入，些控制网平差、大地测量反演、;<=快速定位、重在位场延拓、波场反演、重磁解释、地震层析成力场的向下延拓以及航天飞行器的精密轨道解算都像、电离层层析成像等方面，对病态问题的研究都存在病态问题［!>(］#探索病态问题处理的新方法，取得了一些进展［*>!&］，提高了地球物理解释的质量是现代测量误差理论及数据

3、处理研究中的一项重要和水平#这些研究得出的结论是：（!）对于呈阶梯课题#型分布的奇异值，一般采用截断奇异值的方法进行在处理病态问题的多种方法中，基于奇异值分修正#（"）对于呈均匀下降型分布的奇异值，是采解技术（2.4?1/-@A-/1BCB9:,D:2.3.:43B9E4.F1B，=GH）的用截断奇异值方法还是全部修正奇异值方法，还存病态观测方程直接解算方法引起了越来越多的关在较大的分歧#注［$，8，’］#原因在于：由于法矩阵的条件数等于设计本文研究均匀下降型奇异值的修正方案#在充分考虑大地测量病态问题特点（例如小样本、参数矩阵条件数的平方，因此与设计矩阵相比，法

4、矩阵少、条件数不大等）的基础上，借鉴杨文采将全部的病态性更严重#从参数估值稳定性的角度来看，奇异值分成两部分分别修正的思路［*］，提出了一种直接解算病态的观测方程比解算法方程更有利#适合大地测量病态问题解算的新的奇异值修正方基于=GH技术的病态问题处理的新方法的研案#最后，通过一个算例验证了新方案的有效性#究，许多学者作了大量的、长期的工作#I-42B4从理论上证明了当奇异值分布为阶梯型时，截断奇异［8］!基于"#$的病态观测方程的一般解法值方法与岭估计的等价性#J1结合重力场的向下延拓的实例，提出了一种选择截断参数的新方!%!基于"#$的奇异值分类法［$］#;1

5、.提出了多种奇异值修正方案并将它们初大地测量的病态问题可做如下描述，设有线性步应用于大地测量病态问题的解算中［’］化观测方程［!!］#近二三十"&&%)&*)!*收稿，"&&%)!!)"&收修改稿"国家自然科学基金（批准号：$&&’$&&%，$&"&$&&!）和中国科学院知识创新工程前沿领域（&%&!*(）资助项目+),-./：0123.45607"8%#2.4-#9:,第!"卷第#期$%%"年#月58*#+!"$#%!，（!）1/-.!"##"!!"!!"!4#（",-）$"()，（-$!，+，⋯，#）(（5）.$!!.其中!是设计矩阵，"#$（%!）&#，!’

6、#，"是待由于（+）式为病态的观测方程，所以*的求逆求参数向量，&是观测值与近似计算值之差值，!是观测噪声，观测权阵为’(法矩阵（!(’!）的条会出现不稳定，又由于观测噪声不可避免，导致"1件数比较大，一般大于!)*(与其准确值差异很大，结果不可信，所以必须寻找先将（!）式中的权阵’单位化［!!，!+］，得到的新另外的解算方法(观测方程为解算病态观测方程，常用的两种方法是岭估计和截断奇异值法(!"$#%!，（+）根据（+）式得到岭估计的基于647的解为［0，!*］将设计矩阵)进行奇异值分解得1+!$(#，（8）"$&%"!%&(，（*）$$!"#!"##"##"#

7、其中"+表示岭参数，式中$，&均为正交矩阵，%&,-#.（!!，!+，⋯，++!，#，⋯，#），%"$%%"%$,-#（.#!+#!#）为!的奇异值矩阵，降序排列(+1!，0$!，+，⋯，#(（0）#0$!0%"0根据*中的奇异值分布特性，可以将病态问题分成两类：具有均匀下降型奇异值或阶梯型奇异从以上分析可以看出，岭估计实质上对所有的值(其示意图见图!(+奇异值都进行了修正，修正的幅度取决于岭参数"的大小(截断奇异值法［5，0，!2，!3］的关键是选用多少个奇异值合适(设-为截断参数，将（*）式中的$，%，&按照以下形式分块，得æ%!)ö-"-$$($$+，%$ç

8、÷，!）)