剥脱现象中的某个自由边值问题的整体经典解

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1、数学物理学报2013，33A(6)：10011012http：／／actams．wipm．ac．cn剥脱现象中的某个自由边值问题的整体经典解赵伟霞(复旦大学数学科学学院上海200433)摘要：考虑一个不带初始区间的自由边值问题，该问题产生于剥脱现象(PeelingPhenomenon)的物理模型．在一些物理模型中自然成立的条件下，证明了此问题局部经典解的存在唯一性．在两类有交集但不重合的假设条件下，证明了此问题整体经典解的存在唯一性．关键词：剥脱现象；自由边值问题；整体解的存在唯一性．MR(2000)主题分类：35L70；35R

2、35中图分类号：O175．29文献标识码：A文章编号：1003—3998(2013)06—1001—121引言在本文中，我们考虑如下的自由边值问题—=0，在(0，。。)×(0，。。)n{乱>0)内，0)=，()，对t0，(1．1)一乱=Q。，在(0，。。)×(0，。。)nO{u>0)上，其中f(t)是给定的非负的C函数，Q是一个给定的正常数．这个问题产生于PeelingPhenomenon物理模型(参看文献『1-3])．具体的物理过程如下：一个薄的带子被粘在一个平面上．现拉着带子的左端沿垂直方向提起．随着时间的推移，原先被粘着的

3、带子也会被逐渐提起来．带子被粘着部分开始分离点也随之改变．我们所感兴趣的问题是了解所提起的那段带子的运动情况，以及分离点ON>0的运动情况．在模型中，札描述了带子的形状，边界条件(，0)=f(t)意味着带子的左端被提到．厂()，Q。是带子的粘性力．这个物理过程的拉格朗日量是()=．．r>(u一2一Q)dxdt．它的定常情形是椭圆型的自由边值问题，最早由Alt和Cafarelli提出(参看文献[45])．双曲型的自由边值问题是KojiKikuchi和SeiroOmata在文献『6]中给出的．他们从描述物理过程的拉格朗日量推导出相应

4、的欧拉一拉格朗日方程．问题(1．1)中的第一个式子和第三个式子即是欧拉．拉格朗日方程．他们证明了带有初始区间的问题局部解的存在性，对应了初始时刻有一段区间上带子已经剥离了平面的情形．KazuakiNakane和TomokoShinohara在文献[1]和文献[7]中给出了这种情形下问题的整体解．收稿日期：2012—01—10；修订日期：2013—02—27E-mail：10110180030@fudan．edu．Cn基金项目：国家自然科学基金重点项目“非线性双曲型与混合型偏微分方程”(11031001)和教育部博士点基金“跨音速

5、流与非线性混合型方程”(20090071110002)资助1002数学物理学报Vl01．33A问题(1．1)对应没有初始区间的情形，也就是说初始时刻带子是完全粘在平面上的．它是由KojiKikuchi和SeiroOmata在文献『6]中作为一个公开问题提出．无论是从物理上还是从数学上，研究没有初始区间的情形都是很有意义的．首先，我们简单地回顾一下文献[6]中研究问题(1．1)所采用的方法，以便弄清楚困难所在．对没有初始区间的情形，有f(0)=0，f(t)>0在(0，。。)上，且，(0)>0．由相容性条件u(O，0)=f(O)=0

6、我们可知(0，0)∈a{>0)．引入新的白变量∈和叩，其中∈一t+x，叩=t-X，则可以把(P)重写为f“∈=0，在{∈>卵)n{>0)内，(E){乱(叩，叩)=，(卵)，(1．2)【一4札∈·q=Q，在o{u>0}上．记自由边界a{>o}为∈=^(卵)，则(0，0)=0意味着h(0)=0．由问题(1．2)的第一个方程很容易看出u在{札>0)上的形式是u=(∈)+(叼)．由问题(1．2)的第二个方程我们有～(叩)+(卵)=l厂(叩)．(1．3)从问题(1．2)的第三个方程我们可知一4((卵))(叼)一Q．f1．41由((叼))+

7、(即)=0可以得到(^(_，』))=一(叩)和((_，／))(叼)+(叩)=0(1．5)结合(1．4)和(1．5)式，我们有(叩)=(叩)，因而(叼)=，(s)ds．由(1．3)式可知((叩))+(^(叩))=，((叼))．因此(参㈤ds)，(毒㈦。ds)．6，所以，求解问题(E)等价于从(1．6)式求出砂的表达式或者证明的存在性．然而，我们很难从(1．6)式求出或者证明的存在性．只在．厂是线性函数的特殊情形，我们才可以解出．对一般的情形，的存在性问题目前为止没有合适的解决办法．因此，问题(E)的经典解的存在唯一性还没有得到，甚

8、至局部解也还没有得到，而困难正来自于(1．6)式的复杂性．最近，我们发现如果不遵循上面的思路，而是采用另外的方法，我们可以得到问题(P)的局部解的存在唯一性，而且，我们还可以在一些条件下得到整体解的存在唯一性．我们的做法是直接在(t，X)平面上求解问题(P)，不