曲线积分(小结).pdf

《曲线积分(小结).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、曲线积分（小结）1、曲线积分（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：nnfxyds(,)limf(,)iisi,fxyzds(,,)limf(,,)iiisi00Lii11这里L表示平面曲线，表示空间曲线。①第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）计算----化为定积分：22弧微分：ds()dx(dy)；xt()22(a)设Lt:,，则fxyds(,)f((),())tt()t();tdtyt()Lb2(b)设Ly:(),xaxb，则fxyds(,)f

2、x(,())1x();xdxLa(c)设Lr:t(),，则22fxyds(,)fr(()cos,()sin)rr()r()td;Lxt()(d)设:y(),tt，则zt()222fxyzds(,,)f((),(),())ttt()t()t();tdt②几何意义：当fxy(,)1时，fxyds(,)ds表示积分曲线弧L的长度；LL③奇偶对称性：当曲线L所围成的区域关于y轴对称，则2fxydsf(,),(xy,)fxy(,);f

3、xyds(,)L1其中L1是L在y轴右侧的部分：L0,(fxy,)fxy(,).L1(,)xyLx0；当曲线L所围成的区域关于x轴对称，则2fxydsfx(,),(,y)fxy(,);fxyds(,)L2其中L2是L在x轴上方的部分：L0,(,fxy)fxy(,).L2(,)xyLy0。注：计算对弧长的曲线积分的常用技巧：①应用代入法简化计算，例如：若Lfxy:(,)a，则fxyds(,)ads.（例如书P102，LL习题9-1：5）②应用对称性简化计算。（例如书P102，例3）（2）第

4、二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：nnPxydx(,)limP(,)iixi,Pxyzdx(,,)limP(,,iii)xi00Lii11nnQxydy(,)limQ(,)iiyi,Qxyzdy(,,)limQ(,,iii)yi00Lii11nRxyzdz(,,)limR(,,iii)zi0i1这里L表示平面曲线，表示空间曲线。注：PxydxQxydy(,)(,)PxydxQxydy(,)(,)，其中L是与L方向相反的有LL向曲线。第二

5、类曲线积分（对坐标的曲线积分）计算----化为定积分xt()(a)设Lt:,:，则yt()PxydxQxydy(,)(,)P((),())()tttQ((),())()tttdt;L(b)设Ly:(),:xxab，则bPxydxQxydy(,)(,)Px(,())tQx(,())()ttdt;Laxt()(c)设:y(),:tt，则zt()PxyzdxQxyzdyRxyzdz(,,)(,,)(,,)P((),(),())()t

6、tttQ((),(),())()ttttR((),(),())()ttttdt;2、两类曲线积分之间的联系：①PxydxQxydy(,)(,)Pxy(,)cosQxy(,)cosds，其中cos,cos是有向LL曲线L上任一点的切向量的方向余弦。PxyzdxQxyzdyRxyzdz(,,)(,,)(,,)②Pxyz(,,)cosQxyz(,,)cosRxyz(,,)cosds其中cos,cos,cos是有向曲线L上任一点的切向量的方向余弦。abc222注：向量r

7、(,,)abc的方向余弦：cos,cos,cos,rabc。rrr3、格林公式：设闭区域D由分片光滑的曲线L围成，函数PxyQxy(,),(,)在D上具有一QP阶连续偏导数，则有dxdyPdxQdy，其中L是区域D的取正向的边界xyDL曲线。1注：闭区域D的面积Axdyydx.2L(2)一般利用格林公式来计算对坐标的曲线积分：直接利用格林公式、加边法（例如书P114，例4）、挖洞法（例如书P114，例5）.4、平面上的曲线积分与路径无关的条件定理4（书P119）：设开区域D是一个单连通域，函数P(x

8、,y)及Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1）曲线积分P