曲线、曲面积分小结

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1、第十章曲线、曲面积分小结一基本要求1．理解两类曲线和曲面积分的概念,了解两类积分的性质以及两类积分的关系.2．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件.4.掌握高斯公式,并会用公式求曲面积分.5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长,质量,重心,转动惯量,引力、功和流量等）.二.要点提示弧微分设L：（1）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算——化为定积分计算（2）对坐标（第二类）设L：有方向2．曲面积分的计算（化为二重积分）若（1）对面积（第一类

2、）的曲面积分向xoy面的投影为则投影投影（2）对坐标（第二类）的曲面积分若上侧，则若下侧，则有方向3.格林公式----平面上曲线积分与二重积分的关系4.曲线积分与路径无关的条件L取正向.以及等价关系.设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成,5.高斯公式——曲面积分与三重积分的关系6.两类积分之间的关系：的法向量L的切向量曲线:曲面:三.两类曲线(曲面)积分的典型问题一般曲线积分化成定积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.第一

3、类曲线积分的求法1.基本方法：由积分曲线的表达式求出弧微分元素，定积分定限：下限小于上限.将积分曲线代入被积函数，2.利用积分性质:解3.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性因为积分曲线L关于y轴对称，函数2xcosy是例设L为椭圆其周长为a，求解原式=x的奇函数，因此有而所以第二类曲线积分的求法1.基本方法：由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量，将积分曲线代入被积表达式，定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.2.利用格林公式(1)积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分（满足定理条件）(2)积分曲线为

4、非封闭曲线,添加曲线(较简单)使之成为封闭曲线,原曲线积分化为一个二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.记L所围的区域为D，易知D是边长为的正方形区域.例1设L为的反时针方向，则(A)0；(B)2；(C)4；(D)1．解由已知，则由格林公式，得B解为用格林公式,它与L所围区域为D,则原式添加辅助线段原式3.利用曲线积分与路径无关的条件(1)改变原积分路径，使得原积分简化.(2)已知是某函数的全微分，求出该函数，即4.有奇点的曲线积分例4设取逆时针方向，求解取构造l：顺时针已知于是，由格林公式第一类曲面积分

5、的求法由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面投影，将积分曲面代入被积函数，求出曲面面积元素向xoy面投影：1.基本方法：2.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性关于xoy面对称，被积函数是z的偶函数.解由对称性（轮换性）问题：第二类曲面积分的求法上侧取“+”,下侧取“”对坐标x,y的积分：积分曲面向xoy坐标面投影，将积分曲面代入被积函数，由积分曲面的侧确定二重积分的符号.分三项计算1.前侧取“+”,后侧取“”右侧取“+”,左侧取“”对坐标y,z的积分：对坐标x,z的积分：2.利用高斯公式(1)积分曲面为封

6、闭曲面,直接化为三重积分；(2)积分曲面为非封闭曲面,添加曲面(较简单)使之成为封闭曲面,原曲面积分化为一个三重积分减去在添加曲面上的曲面积分.例6计算解曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式关于yoz面对称，被积函数关于x是奇函数原式故所求积分为3.坐标转换下侧把三个积分合并,只向坐标面xoy投影分析解把三个积分合并,只向坐标面xoy投影下侧4.注意有奇点的曲面积分例8求其中上侧.解设取2为半球面：则原式下侧取3为平面（下侧）：添加平面：使成为封闭曲面的内侧，原式由高斯公式上侧所包围区域为两类曲面积分

7、之间的关系是的法向量.