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1、第四章线性系统的根轨迹法R(s)C(s)4.1控制系统的根轨迹k1/s(s+2)4.1.1根轨迹的基本概念根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。k例如，某系统开环传递函数G(s)=s(s+2)闭环环传递函数kΦ(s)=2s+2s+k第四章线性系统的根轨迹法2闭环特征方程s+2s+k=0,−2±4−4ks==−1±1−k闭环极点1,22极点性质k≤1,s1,2=−1±1−kk>1,s=−1±jk−11,2第四章线性系统的根轨迹法K0.10.8124将特征根画在s平面上s1-0.005-0.4-1-1+j1.73-1
2、+j3.87s2-1.995-1.6-1-1-j1.73-1-j3.87-2jK=2将特征根随增益的变化在s平j面上轨迹称为根轨迹K=0.1k=1k=0.1-2-10-j-2j第四章线性系统的根轨迹法-2j根轨迹的作用K=2StepResponse1.4jk=0.81.2k=2K=0.1k=1k=0.1k=41-2-10-j0.80.6Amplitude-2j0.40.20012345678910Time(sec)第四章线性系统的根轨迹法4.1.2闭环零极点与开环零极点的关系R(s)Gs()G(s)Φ()s=C(s)1+GsHs()()H(s)m2m1KG∏
3、(s−zi)KH∏(s−zk)i=1k=1G()s=H()s=n1n2∏(s−pj)∏(s−pl)j=1l=1m1m2(s−z)(s−z)∏i∏ki=1k=1GsHs()()=Kgn1n2(s−p)(s−p)∏j∏lj=1l=1第四章线性系统的根轨迹法4.1.2闭环零极点与开环零极点的关系m1K(s−z)G∏ii=1n1(s−p)∏jj=1Φ()s=m1m2K(s−z)(s−z)g∏i∏k1+i=1k=1n1n2(s−p)(s−p)∏j∏lj=1l=1m1n2K(s−z)(s−p)G∏i∏li=1l=1Φ()s=nm(s−p)+K(s−z)∏ig∏ji=1j
4、=1第四章线性系统的根轨迹法4.1.2闭环零极点与开环零极点的关系（1）系统的闭环零点由前向通道G(s)的零点和反馈通道H(s)的极点两部分组成。单位反馈系统的闭环零点就是其开环零点。（2）系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益。对于单位反馈系统，系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨迹增益。（3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益有关。第四章线性系统的根轨迹法4.1.3根轨迹方程由特征方程根轨迹方程D(s)=1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1mmKg∏(s−zi)K∏(s−z)gii=1GsHs()()=i=1n=−1n∏(s−pj
5、)∏(s−p)jj=1j=1第四章线性系统的根轨迹法ns−p∏j模值条件j=1K=gm∏s−zii=1mn0幅角条件∑∠(s−zi)−∑∠(s−pj)=−180+2kπi=1j=1k=0,1,2,...±±根轨迹的幅角方程是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，只需用使用幅角方程即可；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才需要使用模值方程。第四章线性系统的根轨迹法p=0,p=−2,k12根轨迹方=−1程说明s(s+2)ss⋅s+2S+2模值条件k=1s-2-100相角条件−∠(s+0)−∠(s+2)=−180+2kπk=0,±1,±2,.
6、..第四章线性系统的根轨迹法S平面ImRe-2-10第四章线性系统的根轨迹法1+GsHs()()=04.2根轨迹的绘制法则mk(s−z)首先：写出特征方程并化成零极点的形式g∏ii=1=−1n例如：某开环系统的传递函数为∏(s−pj)j=11.G(s)H(s)=k(s+3)/s(s+2)2G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)k(2s+1)1+=0,写出根轨迹方程，求出对应的零点和极点。ss(+5)2(ks+0.5)系统2：零点：-0.5极点为0,-5Kg=2k1+=0ss(+5)第四章线性系统的根轨迹法4.2根轨迹的绘制法则【根轨迹性质1】根轨迹是
7、连续的【根轨迹性质2】根轨迹关于实轴是对称的【根轨迹性质3】根轨迹的条数【根轨迹性质4】根轨迹的起点与终点第四章线性系统的根轨迹法根轨迹始于开环的极点，终止于开环的零点。mn起点Kg∏(sz−i)+∏(sp−j)0=i=1j=1mn1∏(sz−i)+∏(s−pj)0=终点Ki=1gj=1对于物理可实现系统，一般满足，因此有n-m条根轨迹终止于无穷远处ns−p∏jj=1nm−K==s=∞glimmlims→∞s→∞s−z∏ii=1n-m个无穷远的零点第四章线性系统的根轨迹法例如：kGsHs()()=ss(+1)(s+2)有三条根轨迹，开环的零点z=-1,极点p
8、=0,-2,-3,2个无穷远的零点ks(+1)(s+
