2019高考数学大二轮复习专题5数列第2讲综合大题部分课件.pptx

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1、专题5数列第2讲　综合大题部分［考情考向分析］1．利用转化证明等差、等比数列．2．通过分组转化、错位相减、裂项相消求数列和，进而求与不等式相关综合问题．考点一　证明等差、等比数列解析：(1)依题意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，2．(中项法)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．解析：(1)证明：∵an＋2＝2an＋1－an＋2，①∴a

2、n＋1＝2an－an－1＋2(n≥2)，②①－②得an＋2－an＋1＝2an＋1－2an－(an－an－1)∴(an＋2－an＋1)＋(an－an－1)＝2(an＋1－an)∵bn＝an＋1－an，∴bn＋1＝an＋2－an＋1，bn－1＝an－an－1.∴bn＋1＋bn－1＝2bn(n≥2)，∴{bn}为等差数列．(2)由已知得b1＝a2－a1＝1，又∵a3＝2a2－a1＋2＝4－1＋2＝5，∴b2＝a3－a2＝5－2＝3，∴公差d＝b2－b1＝3－1＝2，∴bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即

3、an＋1－an＝2n－1.所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.1．等差数列的证明及判断(1)定义法，对于数列{an}，若an＋1－an＝d(d为常数)，则数列{an}是等差数列．(2)等差中项法，对于数列{an}，若2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}是等差数列．(3)通项公式法，若数列{an}的通项公式满足an＝an＋b(a，b为常数)，则数列{an}是等差数列．(4)前n项和法，若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋

4、bn(a，b为常数)，则数列{an}是等差数列．2．等比数列的证明与判断(2)等比中项法，对于非零数列{an}，若anan＋2＝a，则数列{an}是等比数列．(3)若数列{an}成等比数列，则数列{lgan}(an>0)成等差数列；反之，若数列{an}成等差数列，则数列{ban}成等比数列．考点二　数列求和1．(分组求和)(2018·河南信阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2,2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，数列{bn}满足b1＝a1，nbn＋1＝anbn.(1)求数列{a

5、n}和{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1)由2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，可得2Sn＋1＝(n＋2)2an＋1－(n＋1)2an＋2，两式相减可得：2an＋1＝(n＋2)2an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an＋n2an＋1，∴2an＋1＝an＋2＋an，∴数列{an}是等差数列，又由2S1＝22a1－a2，a1＝2，解得a2＝4.∴d＝4－2＝2.∴an＝2＋2(n－1)＝2n.由nbn＋1＝an

6、bn，得bn＋1＝2bn，又b1＝a1＝2，∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为2.∴bn＝2n.(2)cn＝an＋bn＝2n＋2n，2．(裂项相消)(2018·东北三省三校第二次联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n，n∈N*.(1)证明：{an－n}为等比数列；解析：(1)因为an＋1＝2an－n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)．又a1＝3，所以a1－1＝2，所以数列{an－n}是以2为首项，2为公比的

7、等比数列．(2)由(1)知，an－n＝2·2n－1＝2n.所以bn＋1＝bn＋an－n＝bn＋2n，即bn＋1－bn＝2n.b2－b1＝21，b3－b2＝22，b4－b3＝23，…，bn－bn－1＝2n－1.3．(错位相减)(2018·河南、河北两省联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n.(2)令bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3.又a1＝5也符合上式，所以

8、an＝2n＋3(n∈N*)，所以bn＝(2n＋3)2n，所以Tn＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n＋3)2n，①2Tn＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n＋1)2n＋(2n＋3)2n＋1，②所以②－①得Tn＝(2n＋3)2n＋1－10－(23＋24＋…＋2n＋1)＝(2n＋3)2n＋1－10－(2n＋2－8)＝(2n＋1)2n＋1－2.4．(并项求和)(2018·湖南长沙模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝2－2an＋1.(1)求数列{an}的通项