2019高考数学大二轮复习专题2函数与导数第2讲综合大题部分增分强化练文

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1、第2讲 综合大题部分1.(2018·青岛模拟)已知函数f(x)=aex-x-a,e=2.71828…是自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)恰有2个零点,求实数a的取值范围.解析:(1)f′(x)=aex-1,当a≤0时,f′(x)=aex-1<0,所以x∈(-∞,+∞),f′(x)<0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,由f′(x)=aex-1=0,得x=-lna,所以x∈(-∞,-lna),f′(x)<0,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,x∈(-lna,+∞),f′(x)>0,f(x)在(-lna,+∞)上单

2、调递增.(2)由题(1)知,当a≤0时,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;又知f(0)=0,所以f(x)仅有1个零点;当0g(1)=0,所以f(-2lna)=+2lna-a>0,得f(x)在(-lna,-2lna)上也有1个零点当a=1时,f(x)≥f(0)=0,所以f(x)仅有1个零点,当a>1时,f(0)=0,所以f(-lna)<0,令函数h(a)=a-lna,a>1,得h′(a)=1->0,所以

3、h(a)>h(1)>0,所以a>lna,∴-a<-lna,取f(-a)=ae-a>0,得f(x)在(-a,-lna)上也有1个零点综上可知,若f(x)恰有2个零点,则a∈(0,1)∪(1,+∞).2.(2018·高考北京卷)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解析:(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.f′(2)=(2a-1)e2.由题设知f′(

4、2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1,则当x∈(,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).3.(2018·滨州月考)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x+a+(a≤0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a∈(-,0)时,设函数f(x)的极大值点为x0,

5、求证:f(x0)<0.解析:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-2ax-2=,①当a=0时,f′(x)=,令f′(x)=0,得x=,由f′(x)>0,解得0,所以函数f(x)在区间(,+∞)上单调递减;②当a≤-时,f′(x)≥0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无单调递减区间;③当-0,解得x1=-,x2=-,则00,得φ(x

6、)>0,解得0-,所以函数f(x)在区间(0,-),(-,+∞)上单调递增;由f′(x)<0,得φ(x)>0,解得x1

7、<1.由题意f(x0)=lnx0-ax-2x0+a+.因为f′(x0)=0,即-2ax-2x0+1=0,所以f(x0)=lnx0+-2x0+a+=lnx0-x0+a+1.设h(x)=lnx-x+a+1(00,所以函数h(x)在区间(0,1)上单调递增.则h(x)

8、(x)=+x-2=,当0

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