2014年高考山东理科卷数学第21题的拓广.pdf

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1、中学数学杂志２０１４年第７期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ２０１４年高考山东理科卷数学第２１题的拓广湖南省常德市第六中学４１５００３彭世金２题目已知抛物线Ｃ：ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点２ｐｙ０直线ＡＥ的方程为ｙ－ｙ＝（ｘ－ｘ），为Ｆ，Ａ为Ｃ上异于原点的任一点，过点Ａ的直线ｌ交０２２０ｙ－ｐ０Ｃ于另一点Ｂ，交ｘ轴正半轴于点Ｄ，且有ＦＡ＝２ｐｙ２０由ｙ＝２ｐｘ，将ＡＥ的方程整理得ｙ＝（ｘＦＤ．当点Ａ的横坐标为３时，△ＡＤＦ是正三角形．００ｙ２－ｐ２０（Ⅰ）求Ｃ的方程；ｐｐ－）．直线ＡＥ过定点Ｆ（，０）．（Ⅱ）若直线

2、ｌ１∥ｌ，且ｌ１和Ｃ有且只有一个公共２２点Ｅ，ｐ２２当ｙ＝ｐ时，直线ＡＥ的方程为ｘ＝，过定点０（ⅰ）证明直线ＡＥ过定点，并求出定点的坐标；２（ⅱ）△ＡＢＥ的面积是否存在最小值，若存在，ｐＦ（，０）．请求出最小值，若不存在，请说明理由．２笔者通过研究，发现本题第（Ⅱ）问可拓广到一ｐ综上可知，直线ＡＥ过定点Ｆ（，０）．般情形．２２命题已知抛物线Ｃ：ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点（ⅱ）由（ⅰ）知直线ＡＥ过抛物线Ｃ的焦点为Ｆ，Ａ为Ｃ上异于原点的任一点，过点Ａ的直线ｌ交ｐｐＦ（，０），所以ＡＥ＝ＡＦ＋ＥＦ＝（ｘ＋）＋０Ｃ于另一点Ｂ，

3、交ｘ轴正半轴于点Ｄ，且有ＦＡ＝２２３３２ＦＤ．若直线ｌ∥ｌ，且ｌ和Ｃ有且只有一个公共点ｐｐｐｐ１１（＋）＝ｘ＋＋ｐ＝ｘ＋＋ｐ，直线ＡＥ２００ｐ２ｙ０２２·２ｐｘ０４ｘ０Ｅ，则（ⅰ）直线ＡＥ过定点Ｆ（，０）；（ⅱ）△ＡＢＥ的２ｐ的方程ｘ＝ｍｙ＋，点Ａ（ｘ，ｙ）在ＡＥ上，ｍ＝２２００面积有最小值，且这个最小值为４ｐ．证明（ⅰ）设Ａ（ｘ，ｙ）（ｘｙ≠０），Ｄ（ｘ，ｐ００００Ｄｘ－０ｐｐ２０）（ｘＤ＞０）．由ＦＡ＝ＦＤ，得ｘＤ－＝ｘ０＋，．２２ｙ０由ｘＤ＞０，得ｘＤ＝ｘ０＋ｐ．所以Ｄ（ｘ０＋ｐ，０）．故直线ＡＢ＝－ｙ０直线ＡＢ

4、：ｙ－ｙ（ｘ－ｘ），由ｙ≠０，可得０００ｙｐ０的斜率ｋ＝－．ＡＢｐｐ２ｘ＝－ｙ＋ｐ＋ｘ，将其代入Ｃ的方程ｙ＝２ｐｘ，整理０ｙ因为直线ｌ与直线ＡＢ平行，设直线ｌ的方程为０１１２ｙ０２２ｐ２２得ｙ＋ｙ－２ｐ－２ｐｘ＝０．ｙ＝－ｘ＋ｂ，将ｌ的方程与抛物线Ｃ的方程ｙ＝２ｐｘ０１ｙｐ０２＋２ｐ２２２ｐ２联立，消去ｘ得ｙｙｙ－２ｐｂ＝０．０设Ｂ（ｘ，ｙ），则有ｙ＋ｙ＝－，１１０１４ｙ由ｌ和Ｃ有且只有一个公共点Ｅ，知Δ＝４ｐ＋０１２２ｐ２２ｐｐ２故ｙ＝－ｙ－，ｘ＝＋ｘ＋２ｐ．８ｙｐｂ＝０，得ｂ＝－．１０１００ｙｘ２ｙ０００２３点Ｂ到

5、直线ＡＥ的距离ｐｐ设Ｅ（ｘ，ｙ），则ｙ＝－，ｘ＝．２２ＥＥＥｙＥ２ｙ２ｐ２ｐｐ００＋ｘ＋２ｐ＋ｍ（ｙ＋）－００ｘｙ２ｙ－ｙ００２２＝Ｅ０＝ｄ＝当ｙ０≠ｐ时，直线ＡＥ的斜率ｋＡＥ１２＋ｍ２ｘ－ｘＥ０２ｐｙ０，２２ｙ－ｐ０５５ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志２０１４年第７期ｐ于是△ＡＢＥ的面积ｘ－２０２２ｐ２２ｐｐ１ｐｐ＋ｘ０＋２ｐ＋·（ｙ０＋）－Ｓ＝·２２ｐ（ｘ０＋）·（ｘ０＋＋ｐ）ｘ０ｙ０ｙ０２２２ｘ４ｘ０＝０ｐ２ｘ－１ｐｐ０≥·２２ｐ·２ｘ··（２ｘ·＋２００２＋（２２４ｘ１）２ｘ００ｙ０２ｐ）＝４

6、ｐｐ２（ｘ＋）２２０ｐｐｐ２当且仅当ｘ＝且ｘ＝即ｘ＝时取０００４ｘ２２ｘ０ｘ０ｐ０＝＝２２ｐ（ｘ０＋）．２ｐ２ｘ等号，故△ＡＢＥ的面积的最小值为４ｐ．ｘ＋００２２ｐｘ０２０１４年高考山东数学理科卷２１题解法研究山东省胶州市实验中学２６６３００胡翠霞２题目已知抛物线Ｃ：ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点经知道答案是（１，０）！为Ｆ，Ａ为Ｃ上异于原点的任意一点，过点Ａ的直线ｌ（法二）光学性质＋几交Ｃ于另一点Ｂ，交ｘ轴的正半轴于点Ｄ，且有｜ＦＡ｜何法（与２０１３年山东理科２２＝｜ＦＤ｜．当点Ａ的横坐标为３时，△ＡＤＦ为正三角题光学法

7、类似）：形．如图１，做ＥＧ∥ｘ轴，交（Ⅰ）求Ｃ的方程；ＡＢ于Ｇ，由抛物线的光学入（Ⅱ）若直线ｌ１∥ｌ，且ｌ１和Ｃ有且只有一个公共射及反射原理知：∠ＤＡＥ＝图１点Ｅ，∠ＡＥＨ＝∠ＧＥＷ＝∠ＥＧＡ＝（ⅰ）证明直线ＡＥ过定点，并求出定点坐标；∠ＦＤＡ＝∠ＤＡＦ；所以Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线；（ⅱ）△ＡＢＥ的面积是否存在最小值？若存在，（Ⅱ）（ⅱ）（法一）巧用切线转化三角形面积，请求出最小值；若不存在，请说明理由．与２０１４青岛二模２０题类似．２设Ａ（ｘ，ｙ）（ｘｙ≠０），Ｄ（ｘ，０）（ｘ＞０），因解析（Ⅰ）抛物线Ｃ的方程：ｙ＝４ｘ

8、；（略）００００ＤＤ为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘ－１＝ｘ＋１，ｘ＝ｘ＋（Ⅱ）（ⅰ）（法一）导数法（与２０１３年山东理科Ｄ０Ｄ０ｙ２２题（３）问导数法一样）：０２⇒ｋ＝－；ＡＢ２设Ａ（ｘ，ｙ）（ｘｙ≠０）、Ｄ（ｘ，０）（ｘ＞０），因００００ＤＤ２２为ＦＡ＝ＦＤ，所以ｘＤ－１＝ｘ０＋１，ｘＤ＝ｘ０＋又因为(ｙ)′＝(４ｘ)′⇒２ｙｙ′＝４所以