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1、第11卷第4期西安文理学院学报:自然科学版Vo.l11No.42008年10月JournalofXia'nUniversityofArts&Science(NatSciEd)Oc.t2008文章编号:1008-5564(2008)04-0023-05二次无理数的连分数及其应用陈广锋,杨中和(西安文理学院数学系,陕西西安710065)摘要:给出了二次无理数(a+n)/b展为连分数的简便算法,并将该算法用于有理数的连分数展开及某些定理的证明.关键词:过渡数;部分商;连分数中图分类号:O156.2;O177.2文献标识码:A连分数(这里指的是简单
2、连分数)是有理数逼近实数的重要工具,但将二次无理数展为连分数,至今还没有一个统一的简便算法,本文就是这方面的一个尝试,给出了一种称之为取整算法的简便算法,并将此算法用于有理数的连分数展开及某些定理的证明.1(a+n)/b的连分数展开2我们对(a+n)/b约定:a,b,n均为整数,n>0为非平方数(n=k+r,1[r[2k,下同)bX0,n前-1永为正号,对一般实数H来说,把H写成整数部与分数部之和:H=[H]+{H}=[H]+(1/{H}),我们用欧拉的连分数符号,就得出H的形式上的连分数:H=[[H].1/{H}],再把1/{H}写成整数
3、部与分数部之和,,,依此类推,便得出H的连分数.对于二次无理数(a+n)/b来说,具体作法是:若b>0,取[k的最大整数p,使b
4、(a+p),其商便是连分数的第一部分商;若b<0,取k之最小整数p,使b
5、(a+p),有同样的结论,以下,我们只对b>0进行讨论.记[k之最大整数为p1,使b
6、(a+p1),则有:a+na+p1n-p1a+p11a+p1bb=+=+=[.],将的分母有理化,得bbbbb/(n-p1)bn-p1n-p1p1+n2a+na+p1p1+n2,我们称n-p1为n对p1的过渡数,记为np1,再记np1/b为q1,则=[.
7、],再(n-p1)/bbbq1p1+n对用同样的办法,取[k之最大整数p2,使q1
8、(p1+p2),其商便是连分数的第二部分商,依此类q1推,可得(a+n)/b的连分数展式如下:a+na+p1p1+p2pm-1+pmPm+pm+1=[..,...,](1)bbq1qm-1qmpm-1+pmnpm一般来说,若已求出第m个部分商,则=qm,便是下一个分母,取[k之最大整数pm+1,或qm-1qm-1对-pm加上qm的倍数,取[k之最大者,即是pm+1,使qm
9、pm+pm+1,其商便是第m+1个部分商,,.收稿日期:2008-05-16作者简介:
10、陈广锋(1973)),男,陕西蓝田人,西安文理学院数学系副教授,硕士.研究方向:算子理论与代数.24西安文理学院学报:自然科学版第11卷2可展条件定理1(1)式可展的充要条件是b
11、na.22证必要性:b
12、(a+p1)]aS-p1(modb)]na=n-aSn-p1=np1(modb)要(1)式可展,必须q1为整数]npS0(modb)]naS0(modb).1充分性:反之,naS0(modb)]npS0(modb)]q1为整数.1q1
13、(p1+p2)同理:]q1
14、np]q2为整数,,,依此类推,所有分母都是整数,即(1)式可展.2q1
15、np
16、12a+nac+cn222若b不能整除na,可对上、下各乘以c,成为,(cn)ac=cna,可展条件为bc
17、cna]b
18、cna,bbc若(na,b)=d,b=b1d,,于是,取c为b1的倍数,即可满足可展条件.为了书写省目,我们可将(1)式中的分子、分母用一条线段连起来,两个分子加项列于分母左右,分母用画括号的数字表示,部分商标于分母之上,成为下列形式.a0a1am-1ama)(b))p1)(q1))p2),)(qm-1))pm)(qm))pm+1),(2)这种算法避免了求整部与分数部的麻烦.3部分商运算链条的结构分析(2)式是连分数部分商
19、运算链条,据以上讨论,可对该链条得出以下结论:(1)除a,b特定外,其他各p,q等,均由计算而得,不论a,b的正负如何,p,q很快便能进入正数状态.aipi+pi+1(2)pi)(qi))pi+1表示部分商ai=,且从某步起,有1[pi,pi+1[k.qi(3)pi[k]1[qi[2k,从而得出:二次无理数的连分数必循环.(4)pi)(qi))pi+1隐含qi
20、(npi,npi+1)(5)(qi-1))pi)(qi)隐含npi=qi-1.qi体现了运算链条是由各过渡数的互补因子衔接而成.pi+n(6)pi)(qi)表示H的第i+1个完全商H
21、i=,即:H=[a0.a1.,.ai-1.Hi]qi22(7)pi)(qi))pi+1隐含p1Sn(modqi)及pi+1Sn(modqi),即pi,pi+1是平方剩余方程2xS
