无理数的近似值与连分数.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途无理数的近似值与连分数江苏张家港高级中学储聪忠一、从一道题目谈起设正有理数x是的一个近似值，令。（1）若，求证：；（2）求证：y比x更接近于。解答：（1）因为，所以；（2）同理可证：当时，.要证“y比x更接近于”，即证：。①若，根据（1),则，即证，也就是证.考察函数，当时，它是增函数，从而;②若,则，即证,也就是证。因为函数在上是减函数，在上是增函数,所以当时，，即证.综上所述，证明了y比x更接近于。另证：因为,所以。个人收集整理勿做商业用途二、几点说明1．若令，则正数;2．对于正数,比更接近；3．因为，从

2、而=…，若去掉后面的小于1的“小尾巴”,即,…它们越来越接近.用连分数来表示无理数,则有==［1，1，2，1，2,···］；4．如何求的连分数表示式呢?事实上,通过下面的步骤:个人收集整理勿做商业用途……故无理数的连分数为[1,1，2,1，2，···］；三、连分数的有关概念一般地，设是一个实数序列，其中，n为自然数,则分数称为有限连分数；如果是整数，是正整数,则称为有限简单连分数。当时，则它们分别称为无限连分数或无限简单连分数.有限连分数记作[a0,a1，a2，…,an]或；无限连分数记作［a0,a1，a2,…]或.我们知道方程的正

3、根用求根公式可得2。141421。如果我将方程化为,既然与相等,则用替换方程右边的,就得到，这样可以不断地进行下去.若每次舍掉,则得到一连串的分数：个人收集整理勿做商业用途，…它们分别是，…，越来越接近.因此的连分数为［2,2，2，···］。一般来说，有限连分数表示有理数,无限连分数表示无理数;连分数与递归数列有着密切的关系.