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1、利用泰勒级数计算无理数和以及其他任意无理数的近似值适用章节：第十二章第四、五节幂级数，泰勒级数（同济大学数学系《高等数学（第六版）》）一、问题提出：和是两个常用的无理数。是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，其定义为圆形之周长与直径之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等量的关键值，的近似值是3.141592654。是高等数学中常用的无理数，的值约为2.718282。它们是怎样计算出来的，大家可能不是很清楚，我们将利用幂级数以及泰勒级数展开法借助数学软件Mathmatica来计算它们的近似值。问：（1）计算的近似值。（2）计算的近似值。（3）怎样利用余项判断近似值的误差。（
2、4）考虑一下其它无理数的计算，比如等。二、涉及知识点幂级数，泰勒级数三、所使用的软件和关键语句软件：Mathmatica5关键语句：Series[f{,,}]%将函数在处展开到阶幂级数。四、实现的过程和结果1．提示：，。2．实验过程：（1）计算的近似值在Mathmatica5工作页面输入如下命令：n=20Series[ArcTan[x],{x,0,n}]%在展开到=20阶f[x_]=4Normal[%]%去掉幂级数余项且乘4倍NumberForm[f[1.],10]%令得的近似值,输出10位有效数字wucha=N[1/(2n+3),10]%误差精度，小于该数值，输出10位数字
3、（结果与上面程序每一行对应，其中ArcTan[x]表示函数，Series[]级数展开函数）3.0418396190.02325581395%精确到整数位计算结果不太精确，我们增大的阶数，如下n=100；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展开到100阶f[x_]=4Normal[%];NumberForm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]输出结果：3.121590.004926108374%精确到小数点后一位n=1000；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展开到1000阶f[x_]=4Normal[%];Numb
4、erForm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]输出结果：3.1395926560.0004992511233%精确到小数点后一位n=10000；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展开到10000阶f[x_]=4Normal[%];NumberForm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]输出结果：3.1413926540.00004999250112%精确到小数点后3位n=100000；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展开到100000阶f[x_]=4Normal[%];NumberFo
5、rm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]输出结果：3.141572654%精确到小数点后4位（2）计算的近似值。在Mathmatica5工作页面输入如下命令：n=5;Series[Exp[x],{x,0,n}]%展开到5阶f[x_]=Normal[%]NumberForm[f[1.],10]wucha=N[3/(n+1)!,5]输出结果：2.7166666670.0041667%精确到小数点后1位n=20;Series[Exp[x],{x,0,n}]；%展开到20阶f[x_]=Normal[%]；NumberForm[f[1.],20]wucha=N[
6、3/(n+1)!,10]输出结果：2.718281828459046通过上面两个例子，我们借助计算机通过幂级数展开计算出了无理数和近似值，我们明显可以看到在计算时利用幂级数展开在阶数比较低的情况下结果较为精确，而计算的近似值结果在比较高的阶数情况下才较为准确，这里主要是因为在计算的近似值时由于利用展开时前面乘上4倍，会使结果误差放大。五、问题延伸利用幂级数或泰勒计算其他任意的无理数的近似值，比如，应该怎样计算，怎样判断其误差。六、参考文献无
