高中数学选修系列2选修2-2《导数》课件.ppt

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1、导数教材分析东城教研科研中心雷晓莉一、导数的地位和作用中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域。增加这部分内容，可以加强对学生的辩证思维的教育，使学生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简便的手段，加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识；同时，使学生掌握一种科学的语言和工具，学习一种理性的思维模式.二、内容分析3.1导数的概念曲线的切线；在初中学过圆的切线，直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种

2、特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有唯一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．如图2.瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或

3、某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．3.导数的概念导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)△x是自变量x在处的增量(或改变量)．(2)导数定义中还包含了可导的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导，才能得到f(x)在点处的导数．(3)如果

4、函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=

5、x

6、在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数。4.导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件

7、下，求得切线方程为特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为3.2几种常见函数的导数公式1.=0（C为常数）(课本给出了证明)公式2.=(课本给出了证明)公式3.(课本没有给出了证明)公式4.(课本没有给出了证明)3.3函数的和差积商的导数1.和（或差）的导数上一节学习了常见函数的导数公式，那么对于函数的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。我们不难发现，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想

8、，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。2.积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）说明：（1）；（2）若c为常数，则(cu)′=cu′3.商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以.现补充证明如下：设因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是△x→0时，v(x+△x)→v(x)，从而即.说明：（1）；（2）学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算

9、得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求.3.4复合函数的导数复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

10、（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y