选修2-2导数的概念.ppt

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1、第一章导数及其应用选修2-21.1.2导数的概念（1）求质点在t=2至t=4这段时间的平均速度；（2）求质点在t=2时的瞬时速度。问题：是否可利用平均速度求瞬时速度？一质点的运动方程为s(t)=3t2-6t+5,其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）.求质点在t=2,t=2+△t这段时间的平均速度；△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当

2、△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,…………问题：可否利用平均速度求瞬时速度？△t无限逼近0时,2s到(2+△t)s的平均速度便无限逼近2s时的瞬时速度！并且平均速度趋近于6m/s.2s到(2+△t)s的平均速度思考：1、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？即从表达式入手，即当△t趋于0时，趋近于6平均速度的极限=瞬时速度一般的，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即导数的定义:注意：瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。由导数的定义可知,求函数y=

3、f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求极限值一差、二比、三极限导数概念的进一步理解_____________【小试牛刀】设f(x)=ax+4，若f’(1)=2,则a=____.例1.求y=x2在点x=1处的导数．解：f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算x=2和x=6时的导数.根据导数的定义,所以,同理可得例1由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:在不致发生混淆时，导函数也简称导数．什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f’(x0)便是x的

4、一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:1.1.3导数的几何意义1.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线

5、PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.注意,曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.变式:设f(x)为可导函数，且满足,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.

6、故所求的斜率为-2.例2:已知曲线上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线上一点P(1,-1)处的切线方程.答案:y=3x-4.练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.练习练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和例2:设函数f(x)在点x0处

7、可导,求下列各极限值:分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.莱布尼兹：影响人类的100位伟人中，无莱布尼兹排名，但是：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多