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1、基本要求与学法指导矩阵一、理解矩阵的定义,掌握矩阵的性质及一些特殊矩阵.矩阵是由m×n个数组成的一个m行n列的矩形表格,通常用大写字母A、B、CL表示,组成矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,通常用小写字母a、b、cL表示,其中下标i、j、k、l、p、q都是正整数,他们表示ijklpq⎛a11a12La1n⎞⎜⎟⎜a21a22La2n⎟该元素在矩阵中的位置.比如,A=或A=（a）表示一个⎜LLLL⎟ijm×n⎜⎟⎜⎟aaLa⎝m1m2mn⎠m×n矩阵,下标i、j表示元素a位于该矩阵的第i行、第j列.ij元素全为零的矩阵称为零矩阵.⎛a1⎞⎜⎟⎜a2⎟特别地,一个m×1矩阵A=,也称为一
2、个m维列向量;而一个⎜⎟M⎜⎟⎜⎟a⎝m⎠1×n矩阵B=(b,b,L,b),也称为一个n维行向量.12n当一个矩阵的行数m与列数n相等时,该矩阵称为一个m阶方阵.对于方阵,从左上角到右下角的连线,称为主对角线;而从左下角到右上角的连线称为付对角线.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是1,而⎛10L0⎞⎜⎟⎜01L0⎟其余元素都是零,则称为单位矩阵,记为E,即:En=.如一n⎜LLOL⎟⎜⎟⎜⎟⎝00L1⎠个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零,则称为下（上）三角⎛a110L0⎞⎜⎟⎜a21a22L0⎟矩阵,例如,A=是一个n阶下三角矩阵,而⎜⎟LLLL⎜⎟⎜⎟aaLa⎝m1m2mn
3、⎠⎛b11b12Lb1m⎞⎜⎟⎜0b22Lb2m⎟B=则是一个m阶上三角矩阵.⎜⎟MMMM⎜⎟⎜⎟00Lb⎝mm⎠二、理解矩阵与行列式的区别与联系.矩阵与行列式是两个截然不同的概念,行列式的结果是一个确定的数,其表现形式是2个数排成的行列,再用两条竖线夹起来,按照一nnn定的规律将这2个数进行运算得出一个具体的数;而矩阵仅仅是一个n矩形的数表,通常用圆括号“（）”或方括号“[]”将矩形数表夹起来.只有方阵才可取行列式,方阵与它的行列式是紧密相关的.三、理解逆矩阵的概念极其存在条件,掌握矩阵求逆的方法与伴随矩阵:定义1设n阶矩阵A若存在同阶矩阵B,使AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,−
4、1B为A的逆矩阵,简称为A的逆,记为B=A.如果是A可逆矩阵,那么A的逆是唯一的.这是因为当B,C都是A的逆时,有:AB=BA=E=AC=CA,B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.可逆矩阵的性质:−1−11、(A)=A;−11−12、如果A可逆,数λ≠0,那么(λA)=A;λ3、如果可逆,那么,T也可逆,而且−1−1;AA(AT)=(A)T4、如果,−1−1−1AB皆可逆,那么AB也可逆,且(AB)=BA.两个n阶矩阵A与B的乘积AB=E时,一定有BA=E,从而A,B互为逆矩阵.⎛A11LA1n⎞⎜⎟定义2对任意阶矩阵,称∗为的伴随矩阵,其nAA=⎜MOM⎟A⎜⎟ALA⎝n1
5、nn⎠中,A是A中元素a的代数余子式.ijij定理1∗∗AA=AA=AE1∗定理2矩阵可逆的充分必要条件是A≠0,A−1=A.A推论1若A,B都是n阶矩阵,且AB=E,则BA=E,即A,B皆可逆,且A,B互为逆矩阵.（1）可以从两个方面考察*的性质.A①已知矩阵的乘法一般不满足交换律,即AB≠BA.反过来②的伴随矩阵*具有相同的性质.AA（2）求一个方阵的逆,大致有如下方法:①依定义求之;∗−1A②伴随矩阵法,即A=;A③初等变换法;④分块求逆法;⑤解方程组法⋯⋯.其中,用初等变换法求逆简便快捷,容易操作,用图示表示如下:[]初等行变换[−1]⎡A⎤初等列变换⎡I⎤AI⎯⎯→⎯⎯IA
6、或者⎢⎥⎯⎯→⎯⎯⎢−1⎥⎣I⎦⎣A⎦定理3设A为n阶矩阵,下列叙述等价:(1)A是可逆阵;(2)A行等价于单位阵E;(3)A可表示为一些初等矩阵的乘积.当A可逆时可用矩阵的逆求解矩阵方程AX=B.设A为n阶可逆阵,则对−1−1−1−1−1AX=B两边左乘A,有X=AB.由于A(A,B)=(E,AB)而A可表示为一些初等矩阵的乘积,所以把分块矩阵(A,B)进行行初等变换时,在把−1子块A变为E的同时,子块B也就变为AB,这就是要求的X.当然也可以有先求出−1,再作矩阵乘法−1AAAB.−1−1在解矩阵方程XA=B时,则要右乘A,既X=BA.或者通过解方程TTTTAX=B.先求出X,然
7、后就可以求出X.四、熟练掌握矩阵的各种运算:1、矩阵的加法:如果A=(a),B=(b)是两个同型矩阵（即它们具有ijij相同的行数和列数）,则定义它们的和A+B仍为与它们同型的矩阵,A+B的元素为A和B对应元素的和,即:A+B=(a+b).ijij给定矩阵A=(a),我们定义其负矩阵−A为:−A=(−a).这样我们可ijij以定义同型矩阵A,B的减法为:A−B=A+(−B).由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算,容易验证,矩阵的加法满足下列运算律:(1
