project 六角二维ising模型的重整化群计算.pdf

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1、PROJECT5:六角二维ISING模型的重整化群计算黄晓SC13014127中国科学院上海硅酸盐研究所专业材料物理与化学一.重整化群方法临界现象的标度理论建立了临界指数之间的一些关系标度律,但并不能解决计算临界指数的问题;而且标度理论所基于的标度假设的物理基础也有待从微观上论证.七十年代初,Wilson在标度理论和普适性的基础上,建立了重整化群理论,在统计物理的基础上论证了标度假设,提供了从微观上计算临界指数的系统方法;重整化群的基本思想是:在临界点关联长度趋于无穷大,因此体系应该具有尺度变换下的不变性,由此可以不直接计算配分函数,而是找尺度变换下的不变性,从而确定临

2、界点并计算临界指数.下面介绍坐标空间的重整化群(positionspacerenormalizationgroup,简称PSRG),也称实空间重整化群(realspacerenormalizationgroup,简称RSRG).对于一个具有最近邻相互作用的d维的伊辛模型而言,其哈密顿量可表示成CNN/2HS{}JiijSSiBS(1)(,)iji上式中C表示一个格点的最近邻数,N是总的格点数.晶格常数是α,设想把晶格分成许多大小相同的团,每一集团为边长为Lα的d维超立方,则集团总数为NL-d,每一集团包含Ld个格点.如果保持集团总自旋与格点自旋相同,那么系数

3、J,B就会改变.集团哈密顿量就变成以下形式:ddCNLNL/2HS{}JLLSSIJIBS(2)(,)IJI重整化群的基本思想是把关联长度发散的临界点与非线性变换的不动点联系起来.这样可以不直接计算配分函数,而研究保持配分函数不变的变换性质,因此把连续相变的研究归结为分析这种非线性变换的不动点和在不动点附近线性化以后的本征值,由它计算临界指数.系统的配分函数是:HZekTB(3)物理体系通常用哈密顿量描述,哈密顿量本身又由一些参数描述,重整化群作用的对象就是这个哈密顿量的参数组成的空间,重整化群变换实际上包括两步:一是进行粗粒平均,降低分辨率,如用

4、l×l的自旋集团来代替单个自旋;第二步再将长度和自旋重新标度,使哈密顿量又回到原来的形式,只改变参数.为了简化计算,我们定义有效哈密顿量'HH(4)kTB然后,配分函数可以表示成:'HZe(5)对于ising模型而言,系统的哈密顿量如(1)所示.其中有效哈密顿量是:CNN/2CN/2N'JBHKS(,{},)NiiKjiSSijiKSSS12S(6)(.)ijiij(.)ikTBBkT其中K表示参数空间的一个矢量.如果整个系统划分成集团还需引入表示每个集团的内部自旋自由度σI.因此配分函数可写成HKS(,{},)NHKS(,{},)NHKS(,

5、{},NLd)dZKN(,)eiieeIZKNL(,)(7)LSi{SI,I}SI(7)式中KL表示集团自旋的参数空间的矢量.既然集团自旋的配分函数具有跟原来一样的函数形式,我们可以将每个格点的自由能密度表示成:11dddgK()ZKNlimln(,LZKNL)limLgKln(,)()(8)dLLNNNNLK与KL的关系可以由以下变换表示:KTK()(9)L一般说来,重整化群变换T是一个非线性变换.而重整化群的含义也在于,作了一次尺度变换和粗粒平均化后,从原来的格点自旋系统变成集团自旋系统,后者的哈密顿量仍保持着跟原来一样的

6、形式,因此我们可以重复这个过程将集团划分成更大的集团.如果系统不是处于临界态,则关联长度是有限的,将集团被划分成更大的集团时有效关联范围将收缩,这就意味着系统将远离临界点.反过来,如果系统原来是处于临界点,则关联长度无穷大,经过变换后仍处在临点,即系统达到一个不动点.在不动点上,参数空间矢量K不再因为变换T而变化,也即临界点满足条件**KTK()(10)T就叫做重整化群,实际上,它应该是个半群,因为它不存在逆元素.对于ising模型而言,不动点K*是***K(KK,)(11)12为了确定参数空间矢量K在不动点K*附近的行为,我们将K*进行线性化变化.令*KKK

7、(12)LK*KKK(13)假设K与K是小量,即可得到线性变化LKAK(14)L其中KK11LLKKA12(15)KK22LLKKKK*1211L*KK22L矩阵A的本征矢可以写成uu(16)L这里是本征值矩阵10(17)02u是右本征矢u1u(18)u2在重复进行重整化群变换下,那些沿着本征曲线的运动轨迹为:nuu()(19)nL,111nuu()(20)nL,222当>1时,这些点远离不动点,当<1时靠