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1、第6卷第1期太原师范学院学报(自然科学版)Vol.6No.12007年3月JOURNALOFTAIYUANNORMALUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)Mar.2007X小世界网络上的Ising模型胡煜东赵瑞玉(1.重庆通信学院信息与通信教研室,重庆400035)〔摘要〕在一维规则环链的基础上,构造了小世界网络,研究了其上的Ising模型的相变行为.MonteCarlo方法被用来作为研究的方法.模拟结果发现,所构造的小世界网络上的Ising模型存在相变,模拟结果给出了临界温度.〔关键词〕复杂
2、网络;小世界网络;Ising模型;MonteCarlo模拟;相变〔文章编号〕167222027(2007)0120036203〔中图分类号〕O414.2,N945〔文献标识码〕A0引言[1～3]现实世界中的许多系统可抽象为网络来进行研究.网络中包含有节点和连接节点对的边,其中节点表示系统中的不同个体,边表示不同个体之间的相互作用.近几年来,通过对现实世界中的各种网络进行研究发现,真实世界中的很多网络表现出一些独特的统计性质,这些性质是以前研究的规则网络和随机网络所[2～3]不具备的.这一类的网络现在称为复杂网络.[2～3]
3、复杂网络的静态性质主要是用网络的统计特征来描述.目前,复杂网络的统计特征主要有网络的平均距离(averagedistance),簇系数(clusteringcoefficient)和度分布(degreedistribution).在网络中,两点之间的距离定义为连接两点的最短路径所包含的边的数目,所有节点对的距离平均值就是网络的平均距离.网络中的某个节点的簇系数定义为它所有相邻节点之间连边的数目与这些节点之间可能存在的最大连边数目的比值.网络的簇系数则是所有节点的簇系数的平均值.网络中的某个节点的度为该节点连接的边的数目,网
4、络的度分布用分布函数p(k)表示,其含义是一个任意选择的节点恰好有k条边的概率,即是网络中度为k的节点的个数占网络节点总数的比值.研究表明,规则网络具有大的簇系数和大的平均距离,随机网络具有小的簇系数和小的平均距离.实证结果表明,大多数的真实网络具有小世界性,即具有大的簇系数和小的平均距离,称这类网络为小世界网络.对复杂网络的研究主要有三个方面.第一是分析现实世界中的网络的统计性质.第二是构造具有特定统计性质的网络模型.第三是研究复杂网络上的各种动力学问题.本文讨论的是小世界网络上的相变问题,构[4]造出小世界网络上的Is
5、ing模型,然后通过数值模拟的方法对其进行研究.1模型及算法介绍[2～3]本文所采用的模型是Newman和Watts提出的模型,与最初的WS模型不同的是这一模型在生成的过程中原有的连边不被移除,而是以某一概率重新连接一对节点.考虑一个由L个节点构成的环形链,同时次邻近的节点也相连接.这里采取的边界条件是周期性边界条件.然后对每个节点以概率p增加与其他节点的连接.对任意的节点i,以Si表示其自旋方向,Si的取值为+1或-1,+1表示自旋朝上,-1表示自旋朝下.每一节点和与其有连接的节点都有相互作用,相互作用系数为J.那么系统
6、的哈密顿量可写为:H=-J∑SiSj-J∑SiSj-J∑SiSj〈i,j〉〈i,j〉′〈i,j〉″其中第一个求和表示对最邻近格点求和,第二个求和表示对次邻近格点求和,第三个求和表示对有额外连接X收稿日期:2006212230作者简介:胡煜东(19782),男,重庆人,硕士,重庆通信学院信息与通信教研室助教,硕士,主要从事复杂系统计算机仿真与非线性科学研究.第1期胡煜东等:小世界网络上的Ising模型37的节点对求和.[5]本文采用MonteCarlo模拟的方法来进行研究,用到的算法为Metropolis算法.具体步骤如下:
7、1)在构造好小世界网络后,对每一个格点进行初始化,随机取为向上或向下,即对任意格点Si,随机取值为+1或-1.2)对系统的每个格点依次测试其是否会翻转,对要翻转的格点实施翻转,这样即完成了一个MonteCarlo步.3)进行若干次这样的MonteCarlo步,具体的次数要根据系统的尺度进行决定,在具体的实施中可以进行试验来决定,在后面的讨论中以N1表示.4)对系统的各种热力学量进行统计.统计的次数要根据系统的尺度来进行决定,在具体的实施中也可以试验来决定,在后面的讨论中以N2表示.在各次的统计之间可以间隔多次的MonteC
8、arlo步,这样有利于避免前后两次获得的值之间的较强关联,在后面的讨论中以N3表示.5)求出系统在当前温度下的各种热力学量.本文中将会考察系统的两个热力学量,格点平均磁化强度〈m〉和格点平均磁化强度V.其中格点平均磁化强度〈m〉的计算方法为:N21〈m〉=∑M(xl)LN2l=1M(xl)表示某个微观态
