对数正态分布的var数学模型及其计算

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1、万方数据第41卷第1期2011年1月数学的实践与认识MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORyVbl．41．No．1Jan．．201l一，”””””’’、；管理科学i～。。。。⋯。。。，对数正态分布的VAR数学模型及其计算边宽江，崔冰，金晓燕，刘红波，程波，袁志发(西北农林科技大学理学院，陕西杨凌712100)摘要：vaR(valueatRisk)是一种以规范的统计技术来度量市场风险的新标准，目前在金融数学领域被广泛使用，它是指在正常的市场条件和给定的置信度下，在给定的持有期间内，测度某一投资组合所面临的

2、最大的潜在损失的数学方法．传统的VaR计算方法在计算开放式基金时，可能存在着低估风险的情况．着重论述了VaR模型的数学原理以及该模型的计算方法，运用对数正态分布假设来评估开放式基金的风险，以验证其结果是否更加接近实际风险值．关键词：vaR；置信度；时间序列；对数正态分布VaR模型足金融数学研究的重点问题之一，标准差，∥系数，持续期等传统的度量方法已不能适应新的金融风险的度量．因此，金融机构需要一种能全面反映投资组合所承担风险的技术方法，而vaR数学模型就是为了适应这种需要而产生的风险度量方法．VaR是基于统计分析基础上的风

3、险度量技术，它的核心在于描述金融时间序列的统计分布或概率密度函数见文『11．目前，国内外对vaR模型的研究极为广泛．umbertoCherubini和ElisaLuciano(2001)全面介绍了vaR方法的优点、适用范围、计算过程以及其不足之处．蒲明(2003)也从理论方面论证了vaR模型在对开放式基金风险估计的可行性，并提出了具体的操作步骤，主要提出“方差一协方差法”这种简单的计算方法【2】．通常人们假设金融资产价格服从正态分布，但是，目前国际上有种说法认为金融资产价格服从对数正态分布，传统的vaR计算方法在计算开放式

4、基金的风险时，结果与实际风险值相差较远，对数正态分布假设下得到的风险值(VaR)要比正态分布假设下的风险值更接近实际值【3]．通过对比分析，发现这些研究尽是针对现有的vaR模型而展开的，没有对模型进行数学原理的分析，故本文论述了vaR数学模型的计算方法以及对数正态分布假设下资产组合的风险值．1VaR数学模型VaR模型足指在正常的市场条件下和给定的置信度下，在给定的持有期间内，某一投资组合或金融资产所面临的最大的潜在损失【4】(可以是相对值，也可以是绝对值)．其数学表达收稿日期：2008-01—30万方数据2数学的实践与认识

5、41卷式为：Prob(△W7>VaR)=1一c=Q式中，△Ⅳ为金融资产在持有期△￡内的损失；vaR为置信水平Q下处于风险中的价值；c为置信度．例如，对于某一金融机构来说，它所持有的金融资产在未来一周内，置信度为99％，市场正常波动的情况下，其VaR值为150万元，则该公司的金融资产在一周内，由于市场价格变化而带来的最大损失额超过150万元的概率为1％，换句话说，也就是有99％的概率在未来一周的损失额不会超过150万元．令wj为某资产组合的期初价值，W为该资产组合的期末价值，R为该组合在持有期间的投资收益率，通常服从正态分布

6、，其数学期望值为p，则有w=V％(1+R)．假设在正常的市场条件下，资产组合的最小价值彤+=p％(1+兄4)，R+为最小收益率．VaR可定义为相对均值的损失，即：VaR相对=E(Ⅳ)一w+还可以定义为相对于。的绝对损失，即：vaR绡对=甄一w+又由前面已知：Ⅳ=％(1+R)w+=％(1+兄+)再根据数学期望的基本性质，可得：VaR相对=E[％(1+R)】～％(1+R+)=％【E(R)一R4]=眠(p—R+)va％对=‰一眠(1+彤)=～‰彤因此在正常的市场条件假设下，计算vaR相当于确定最小价值w+或最小收益率彤．变量是数

7、学模型中最关键的部分，计算VaR的关键是模型中变量的确定，许多金融机构应用VaR来预测风险时，往往直接根据vaR方法的定义简单地将原始数据代入模型计算，并未对模型的变量即影响因素，也就是对“在正常的市场条件和置信水平下，在给定的持有期间内”没有进行合理的分析，因而做不到合理的假没．总体而言，V-aR模型需要考虑资产组合收益率分布、置信水平、持有期三个方面因素的影响．1．1资产组合收益率分布在正常的市场条件下，就是指市场在正常的范围内随机波动，不包括人为和市场机制的干涉因素．设某金融资产价格的时间序列为{m)，‰为该资产组合

8、的期初价值，彤为该资产组合的期末价值，R为该组合在持有期间的投资收益率，则有Ⅳ=wj(1+R)．在此，将R可看作一个随机变量，记弘和仃分别是R的数学期望和标准差．作为金融资产收益率的时间序列{Rt)有昆=(％一眠一1)／慨一l当毗一1．已知时，收益率序列{昆}服从正态分布，虽然资产收益正态分布假设能进行