专升本高数第一轮--第三章--一元函数积分学.ppt

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1、引言第三章一元函数积分学积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。本章主要内容3.1不定积分3.2不定积分的计算3.3定积分3.4定积分的计算3.5广义积分3.1.1不定积分的概念3.1.2不定积分的基本公式和运算法则3.1不定积分微分法:积分法:互逆运算3.1.1不定积分的概念定义1若在某一区间上，F’(x)=f(x)，则在这个区间上，函数F(x)叫做函数f(x)的一个原函数。一、不定积分的定义定理

2、1若函数f(x)在某区间上连续，那么f(x)在该区间上的原函数一定存在。定理2若函数f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函数.定理3函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。关于原函数，先研究三个问题：a.函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？b.若函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个？c.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？定理1：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。定义2若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x

3、)的所有原函数F(x)＋C称为f(x)的不定积分，记为x称为积分变量f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式其中∫称为积分号，C称为积分常数例1求下列不定积分(1)(2)解：(2)(3)(3)(1)例2用微分法验证等式：证明：因为是cos(2x+3)的一个原函数，所以即例3求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知得曲线簇y=x2+C,将x=1,y=3代入，得C=2所以y=x2+23.1.2不定积分的基本公式和运算法则一、不定积分的基本公式由不定积分的定

4、义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。序号12345基本积分表67891011例4求下列不定积分(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)例5验证解：当x>0时，当x<0时，所以关于不定积分，还有如下等式成立：2.1.或或１.不为零的常数因子，可移动到积分号前。２.两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和（k≠0）二、不定积分的运算法则（可推广到有限多个函数之和的情况）例6求解：原式=直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。

5、例7求解：原式例8求解：原式=例9求解：原式=说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式。3.2不定积分的计算利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换元积分法与分部积分法3.2.1换元积分法一、第一类换元积分法（凑微分法）有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来。例如想到基本积分公式若令u＝2x，

6、把2x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来定理1设f(u)具有原函数F(u)，uφ(x)可导则有第一类换元积分法第一类换元公式（凑微分法）则有换元公式注意使用此公式的关键在于将第一类换元法又称为凑微分法。例10求解：原式=例14求解：说明：正余弦三角函数积分的偶次幂时，一般应先降幂。凑微分常见类型二、第二类换元积分法第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换x＝φ(t)，而积分目的：去根号或化

7、为基本积分公式可用基本积分公式求解。定理2设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导的连续函数，且其导数φ’(t)≠0，x＝φ(t)的反函数t=φ-1(x)存在且可导，并且则根式代换例19求解：考虑到被积函数中的根号是困难所在，故令当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令x=tn（其中n为各根指数的最小公倍数）例20求解：令例21求解:令则∴原式三角代换小结注意：三角代换的目的是化掉根式。三角代换常有下列规律可令可令可令小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律可令可

8、令可令考虑积分解决思路利用分部积分法问题的提出3.2.2分部积分法分部积分公式下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法——分部积分法。对此不等式两边求不定积分即分部积分过程：应用分部积分法时，可按下述步骤计算：(凑微：定出)(分部：利用分部积分公式)（积分）例25求积分解:令若令显然，选择不当，积分更难进行。若u和dv选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法