2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法练习新人教A版.docx

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1、2.3数学归纳法基础练习1．(2017年福建泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　)A．3k－1　　　B．3k＋1C．8k　　　D．9k【答案】C【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C．2．(2017年浙江金华期中)用数学归

2、纳法证明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋且n＞1)时，第一步即证下列哪个不等式成立(　　)A．1＜2　　　　B．1＋＜2C．1＋＋＜2　　　D．1＋＜2【答案】C3．(2017年福建厦门期末)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)【答案】B4．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(

3、k＋1)与f(k)的关系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2【答案】C【解析】当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．5．用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假

4、设n＝k命题成立，即≥k，然后证明n＝k＋1命题也成立即需证________________．【答案】≥k＋16．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是__________________．【答案】未用归纳假设7.用数学归纳法证明：

5、(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)，n∈N*时，从n=k到n=k+1左边需增乘的代数式是________.【答案】.4k+2【解析】】n=k时，左边是(k+1)(k+2)…(k+k)，n=k+1时，左边是(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，所以需增乘的代数式是=4k+2.8．已知：1＝1,1＋3＝4，1＋3＋5＝9,1＋3＋5＋7＝16，….(1)猜想：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝？(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【解析】(1)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1

6、，∴左边＝右边．②假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.综上①②可知1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2对于任意的正整数成立．能力提升9．(2017年湖北宜昌月考)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1的情况，只需展开(　　)A．(k＋3)3　　　B．(k＋2)3C．(k＋1)3　　　D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】当n＝k时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9

7、整除；当n＝k＋1时，左边式子为(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3(k∈N*)，显然只需展开(k＋3)3.10．(2017年山东菏泽期中)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞(n＞2)”的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边(　　)A．增加了一项B．增加了两项＋C．增加了两项＋，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项【答案】C【解析】当n＝k时，左边为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左边为＋＋＋…＋＋＋，则增加了两项＋，减少了一项.故选C．11．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2k＋1)－f(2k)＝_________